Ist (A und B) hoch C dasselbe wie (A hoch C und B hoch C)?

Question

Ist (A und B) hoch C dasselbe wie (A hoch C und B hoch C)?

Antwort

Verwandte Fragen

Was bedeutet der Begriff Grenzpunkt?

Wie formt man 8 = 1/3^x zu x^3 = 1/8 um?

Accepted Answer

Nein, \((A \land B)^C\) ist im Allgemeinen nicht dasselbe wie \((A^C \land B^C)\). Die Gleichung \((A \land B)^C\) bedeutet, dass die gesamte Aussage \(A \land B\) (also sowohl \(A\) als auch \(B\) müssen wahr sein) dann hoch \(C\) genommen wird. Im Gegensatz dazu bedeutet \((A^C \land B^C)\), dass sowohl \(A\) als auch \(B\) jeweils hoch \(C\) genommen werden und dann das Ergebnis dieser beiden Aussagen verknüpft wird. In der Mathematik und Logik ist die Verknüpfung von Aussagen nicht immer distributiv, daher sind diese beiden Ausdrücke im Allgemeinen nicht gleich.

Accepted Answer

Ein Grenzpunkt ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus der Topologie und Analysis. Ein Punkt \( x \) heißt Grenzpunkt einer Menge \( M \), wenn jede noch so kleine Umgebung von \( x... [mehr]

Accepted Answer

Ein Grenzpunkt ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus der Topologie und Analysis. Ein Punkt \( x \) heißt Grenzpunkt einer Menge \( M \), wenn jede noch so kleine Umgebung von \( x \) mindestens einen Punkt aus \( M \) enthält, der von \( x \) verschieden ist. Anschaulich bedeutet das: Egal wie nah man an \( x \) heranzoomt, man findet immer wieder Punkte aus \( M \) (außer vielleicht \( x \) selbst). Beispiel: Die Zahl 0 ist ein Grenzpunkt der Menge \( M = (0,1) \), weil es beliebig nahe an 0 immer noch Punkte aus \( M \) gibt. Grenzpunkte sind wichtig, um Begriffe wie Stetigkeit, Konvergenz und Abschluss von Mengen zu definieren.

Accepted Answer

Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenw... [mehr]

Accepted Answer

Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenweg: 1. **Starte mit der Gleichung:** \[ 8 = \frac{1}{3^x} \] 2. **Beide Seiten mit \( 3^x \) multiplizieren:** \[ 8 \cdot 3^x = 1 \] 3. **Beide Seiten durch 8 teilen:** \[ 3^x = \frac{1}{8} \] 4. **Beide Seiten logarithmieren (z.B. mit dem natürlichen Logarithmus):** \[ \ln(3^x) = \ln\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x \cdot \ln(3) = -\ln(8) \] \[ x = \frac{-\ln(8)}{\ln(3)} \] 5. **Alternativ: Schreibe \( \frac{1}{8} \) als \( 8^{-1} \) und setze \( 3^x = 8^{-1} \):** \[ 3^x = 8^{-1} \] \[ 3^x = (2^3)^{-1} \] \[ 3^x = 2^{-3} \] 6. **Logarithmiere beide Seiten (z.B. mit Logarithmus zur Basis 3):** \[ x = \log_3(2^{-3}) \] \[ x = -3 \cdot \log_3(2) \] 7. **Jetzt möchtest du zu \( x^3 = \frac{1}{8} \) kommen.** Das ist eine andere Gleichung, die du erhältst, wenn du die ursprüngliche Gleichung umstellst, indem du beide Seiten mit der dritten Wurzel versiehst: \[ 3^x = \frac{1}{8} \] \[ x = \log_3\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x = \log_3(8^{-1}) = -\log_3(8) \] Jetzt betrachte die Gleichung \( x^3 = \frac{1}{8} \): \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} \] \[ x = \frac{1}{2} \] **Fazit:** Um von \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umstellen, dass \( 3^x = \frac{1}{8} \) gilt, und dann die Variable \( x \) als Basis einer Potenz schreiben, sodass \( x^3 = \frac{1}{8} \) entsteht. Das ist mathematisch gesehen ein Umstellen der Gleichung und ein Wechsel der Variablenrolle. **Zusammengefasst:** Du stellst die Gleichung so um, dass die Variable \( x \) auf einer Seite als Basis mit Exponent 3 steht und auf der anderen Seite \( \frac{1}{8} \) ist. Das ist eine Umformung durch Potenzgesetze und Umstellen der Gleichung.