Zeige durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N die Zahl 11^(n + 1) + 12^(2n - 1) durch 133 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass \( 11^{(n + 1)} + 12^{(2n - 1)} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) durch 133 teilbar ist, verwenden wir die vollständige Induktion. **Induktionsanfang:** Für \( n = 1 \): \[ 11^{(1 + 1)} + 12^{(2 \cdot 1 - 1)} = 11^2 + 12^1 = 121 + 12 = 133 \] Da \( 133 \) durch \( 133 \) teilbar ist, gilt die Aussage für \( n = 1 \). **Induktionsvoraussetzung:** Angenommen, die Aussage gilt für ein \( n = k \), das heißt: \[ 11^{(k + 1)} + 12^{(2k - 1)} \text{ ist durch } 133 \text{ teilbar.} \] Das bedeutet, es existiert ein \( m \in \mathbb{Z} \) mit: \[ 11^{(k + 1)} + 12^{(2k - 1)} = 133m. \] **Induktionsschritt:** Wir zeigen nun, dass die Aussage auch für \( n = k + 1 \) gilt: \[ 11^{((k + 1) + 1)} + 12^{(2(k + 1) - 1)} = 11^{(k + 2)} + 12^{(2k + 1)}. \] Wir können dies umschreiben als: \[ 11^{(k + 2)} + 12^{(2k + 1)} = 11 \cdot 11^{(k + 1)} + 12 \cdot 12^{(2k - 1)} \cdot 12. \] Nun setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein: \[ = 11 \cdot 11^{(k + 1)} + 12 \cdot 12^{(2k - 1)} \cdot 12. \] Wir wissen, dass \( 11^{(k + 1)} + 12^{(2k - 1)} = 133m \). Daher können wir schreiben: \[ = 11 \cdot 11^{(k + 1)} + 12^{(2k - 1)} \cdot 12. \] Um zu zeigen, dass dies durch 133 teilbar ist, betrachten wir die Terme: 1. \( 11 \cdot 11^{(k + 1)} \) ist offensichtlich durch 11 teilbar. 2. \( 12^{(2k - 1)} \cdot 12 = 12^{(2k)} \) ist durch 12 teilbar. Jetzt müssen wir zeigen, dass die Summe \( 11 \cdot 11^{(k + 1)} + 12^{(2k)} \) durch 133 teilbar ist. Da \( 133 = 11 \cdot 12 + 1 \), können wir die Terme modulo 11 und modulo 12 betrachten: - Modulo 11: \( 12^{(2k)} \equiv 1^{(2k)} \equiv 1 \mod 11 \). - Modulo 12: \( 11^{(k + 2)} \equiv (-1)^{(k + 2)} \mod 12 \). Da \( k \) eine natürliche Zahl ist, ist \( (-1)^{(k + 2)} \) entweder 1 oder -1, was bedeutet, dass die Summe \( 11^{(k + 2)} + 12^{(2k)} \) in beiden Fällen durch 12 teilbar ist. Somit ist die gesamte Summe \( 11^{(k + 2)} + 12^{(2k + 1)} \) durch 133 teilbar. **Schlussfolgerung:** Da der Induktionsanfang und der Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt wurden, gilt die Aussage für alle \( n \in \mathbb{N} \): \[ 11^{(n + 1)} + 12^{(2n - 1)} \text{ ist durch } 133 \text{ teilbar.} \]