Herleitung der Eulerischen Zahl und der Exponentialfunktion

Die Eulerische Zahl \( e \) ist die Basis der natürlichen Logarithmen und hat eine wichtige Rolle in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Die Herleitung der Exponentialfunktion \( e^x \) kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Eine gängige Methode ist die Definition über Grenzwertbetrachtungen.

1. **Definition von \( e \)**:
Die Zahl \( e \) kann als der Grenzwert definiert werden:
\[
e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
\]

2. **Exponentialfunktion**:
Die Exponentialfunktion \( e^x \) kann dann durch die folgende Reihe definiert werden:
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\]
Diese Reihe konvergiert für alle reellen Zahlen \( x \).

3. **Ableitung der Exponentialfunktion**:
Um zu zeigen, dass die Funktion \( e^x \) die Eigenschaft hat, dass ihre Ableitung gleich der Funktion selbst ist, betrachten wir die Ableitung der Reihe:
\[
\frac{d}{dx} e^x = \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = e^x
\]
Dies zeigt, dass die Ableitung von \( e^x \) tatsächlich \( e^x \) ist.

4. **Alternative Definition über Differentialgleichung**:
Eine weitere Möglichkeit, die Exponentialfunktion zu definieren, ist durch die Differentialgleichung:
\[
\frac{dy}{dx} = y, \quad y(0) = 1
\]
Die Lösung dieser Gleichung ist ebenfalls \( y = e^x \).

Diese Herleitungen zeigen die fundamentale Rolle von \( e \) in der Mathematik und die Eigenschaften der Exponentialfunktion.