Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).
Grenzwert von (x^2 + 6x - 7) / (x^2 - 49)?
Antwort vomUm den Grenzwert des Ausdrucks \(\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 49}\) zu bestimmen, betrachten wir den Grenzwert, wenn \(x\) gegen 7 strebt. Zuerst setzen wir \(x = 7\) in den Ausdruck ein: \[ \frac{7^2 + 6 \cdot 7 - 7}{7^2 - 49} = \frac{49 + 42 - 7}{49 - 49} = \frac{84}{0} \] Da der Nenner 0 ist, müssen wir den Grenzwert durch Faktorisierung oder L'Hôpital's Regel untersuchen. 1. **Faktorisierung**: Der Zähler \(x^2 + 6x - 7\) kann faktorisieren werden: \[ x^2 + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1) \] Der Nenner \(x^2 - 49\) ist eine Differenz von Quadraten: \[ x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \] Damit wird der Ausdruck: \[ \frac{(x + 7)(x - 1)}{(x - 7)(x + 7)} \] Wir können \(x + 7\) im Zähler und Nenner kürzen (außer bei \(x = -7\)): \[ \frac{x - 1}{x - 7} \] 2. **Grenzwert berechnen**: Jetzt setzen wir \(x = 7\) in den gekürzten Ausdruck ein: \[ \frac{7 - 1}{7 - 7} = \frac{6}{0} \] Da der Nenner wieder 0 ist, zeigt dies, dass der Grenzwert gegen unendlich strebt. Um die Richtung zu bestimmen, betrachten wir die Werte von \(x\) um 7: - Wenn \(x\) sich von links (z.B. 6.9) nähert, wird der Ausdruck negativ unendlich. - Wenn \(x\) sich von rechts (z.B. 7.1) nähert, wird der Ausdruck positiv unendlich. Daher ist der Grenzwert: \[ \lim_{x \to 7} \frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 49} = \pm \infty \] Der Grenzwert existiert nicht, da er von der Richtung abhängt.
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