Gleichung umformen: 4k^2 + 4k = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n

Question

Gleichung umformen: 4k^2 + 4k = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n

Antwort

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Wie führt man Äquivalenzumformungen durch?

Was ist eine Äquivalenzumformung?

15x - (9x + 7) + (6 - 2x) - (5x + 3) - xy

15x - (9x + 7) + (6 - 2x) • (5x + 3) - xy?

3x + 8 + 6x - 3 = 32?

Führe die Probe für a=2 in der Gleichung (3a^2 + 4a^2) * (-2a - a^5) durch.

Oder mit a(a+b) - (a^2 + b)(a - b)?

Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Löse die Gleichung 3x + 7 - 5x - 1 = 0 mit Äquivalenzumformungen und rechne die Probe.

Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

Accepted Answer

Um die Gleichung \( 4k^2 + 4k = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n \) umzuformen, du beide Seiten gleichsetzen und die Terme auf eine Seite bringen. 1. Subtrahiere \( n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n \) von beiden Seiten: \[ 4k^2 + 4k - (n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n) = 0 \] 2. Dies ergibt die umgeformte Gleichung: \[ 4k^2 + 4k - n^4 - 6n^3 - 11n^2 - 6n = 0 \] Jetzt steht auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche, nämlich 0.

Accepted Answer

Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lö... [mehr]

Accepted Answer

Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lösen ist, ohne dass sich die Lösungen ändern. Hier sind die wichtigsten Regeln: 1. **Addition/Subtraktion**: Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren. Beispiel: \( x + 3 = 7 \) \(\rightarrow x + 3 - 3 = 7 - 3 \) \(\rightarrow x = 4 \) 2. **Multiplikation/Division**: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie teilen. Beispiel: \( 2x = 8 \) \(\rightarrow \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \) \(\rightarrow x = 4 \) 3. **Klammern auflösen**: Klammern können mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst werden. Beispiel: \( 2(x + 3) = 8 \) \(\rightarrow 2x + 6 = 8 \) 4. **Zusammenfassen von Termen**: Gleiche Terme auf einer Seite zusammenfassen. Beispiel: \( x + x = 6 \) \(\rightarrow 2x = 6 \) 5. **Unbekannte auf eine Seite bringen**: Alle Variablen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere. Beispiel: \( x + 2 = 3x - 4 \) \(\rightarrow x - 3x = -4 - 2 \) \(\rightarrow -2x = -6 \) **Wichtig:** Bei Ungleichungen (>, <, ≥, ≤) musst du beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdrehen. **Zusammengefasst:** Bei jeder Umformung musst du die Gleichung so behandeln, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Das erreichst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation ausführst. Weitere Infos findest du z.B. bei [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungen/aequivalenzumformungen).

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung... [mehr]

Accepted Answer

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung und die umgeformte Gleichung genau die gleichen Lösungen haben. Äquivalenzumformungen werden häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet, zum Beispiel durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer Null bei Division), oder durch Anwenden gleicher Operationen auf beiden Seiten. Ziel ist es, die Gleichung schrittweise zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.

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Um den Ausdruck \( 15x - (9x + 7) + (6 - 2x) - (5x + 3) - xy \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Entferne die Klammern: \[ 15x - 9x - 7 + 6 - 2x - 5x - 3 - xy \] 2. Fasse die \(... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 15x - (9x + 7) + (6 - 2x) - (5x + 3) - xy \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Entferne die Klammern: \[ 15x - 9x - 7 + 6 - 2x - 5x - 3 - xy \] 2. Fasse die \( x \)-Terme zusammen: \[ (15x - 9x - 2x - 5x) = 15x - 16x = -x \] 3. Fasse die konstanten Terme zusammen: \[ (-7 + 6 - 3) = -4 \] 4. Setze alles zusammen: \[ -x - 4 - xy \] Der vereinfachte Ausdruck ist: \[ -x - xy - 4 \]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 15 \times -(9x + 7) + (6 - 2x) \cdot (5x + 3) - xy \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Erster Teil**: \( 15 \times -(9x + 7) \) \[ = -15 \times 9... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 15 \times -(9x + 7) + (6 - 2x) \cdot (5x + 3) - xy \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Erster Teil**: \( 15 \times -(9x + 7) \) \[ = -15 \times 9x - 15 \times 7 = -135x - 105 \] 2. **Zweiter Teil**: \( (6 - 2x) \cdot (5x + 3) \) \[ = 6 \cdot 5x + 6 \cdot 3 - 2x \cdot 5x - 2x \cdot 3 \] \[ = 30x + 18 - 10x^2 - 6x = -10x^2 + 24x + 18 \] 3. **Zusammenführen der Teile**: \[ -135x - 105 + (-10x^2 + 24x + 18) - xy \] \[ = -10x^2 + (-135x + 24x) + (-105 + 18) - xy \] \[ = -10x^2 - 111x - 87 - xy \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ -10x^2 - 111x - 87 - xy \]

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Um die Gleichung \(3x + 8 + 6x - 3 = 32\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Fasse die \(x\)-Terme und die konstanten Terme zusammen: \[ (3x + 6x) + (8 - 3) = 32 \] Das vereinfacht... [mehr]

Accepted Answer

Um die Gleichung \(3x + 8 + 6x - 3 = 32\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Fasse die \(x\)-Terme und die konstanten Terme zusammen: \[ (3x + 6x) + (8 - 3) = 32 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 9x + 5 = 32 \] 2. Subtrahiere 5 von beiden Seiten der Gleichung: \[ 9x = 32 - 5 \] Das ergibt: \[ 9x = 27 \] 3. Teile beide Seiten durch 9: \[ x = \frac{27}{9} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 3 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 3\).

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Um die Probe für \( a = 2 \) in den Ausdruck \( (3a^2 + 4a^2)(-2a - a^5) \) durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. Setze \( a = 2 \) in den Ausdruck ein: \[ (3(2)^2 + 4(2)^2)(-2(2)... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) in den Ausdruck \( (3a^2 + 4a^2)(-2a - a^5) \) durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. Setze \( a = 2 \) in den Ausdruck ein: \[ (3(2)^2 + 4(2)^2)(-2(2) - (2)^5) \] 2. Berechne die einzelnen Teile: - \( 3(2)^2 = 3 \cdot 4 = 12 \) - \( 4(2)^2 = 4 \cdot 4 = 16 \) - Also ist \( 3(2)^2 + 4(2)^2 = 12 + 16 = 28 \). 3. Berechne den zweiten Teil: - \( -2(2) = -4 \) - \( (2)^5 = 32 \) - Also ist \( -2(2) - (2)^5 = -4 - 32 = -36 \). 4. Setze die Ergebnisse zusammen: \[ (28)(-36) \] 5. Multipliziere die beiden Ergebnisse: \[ 28 \cdot -36 = -1008 \] Das Ergebnis der Probe für \( a = 2 \) ist also \( -1008 \).

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Um den Ausdruck \( a(a+b) - (a^2+b)(a-b) \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. Zuerst multiplizieren wir die Terme aus: \[ a(a+b) = a^2 + ab \] \[ (a^2 + b)(a... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( a(a+b) - (a^2+b)(a-b) \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. Zuerst multiplizieren wir die Terme aus: \[ a(a+b) = a^2 + ab \] \[ (a^2 + b)(a - b) = a^2 \cdot a - a^2 \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^3 - a^2b + ab - b^2 \] 2. Setzen wir die beiden Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ a^2 + ab - (a^3 - a^2b + ab - b^2) \] 3. Jetzt verteilen wir das Minuszeichen: \[ a^2 + ab - a^3 + a^2b - ab + b^2 \] 4. Fassen wir die ähnlichen Terme zusammen: \[ -a^3 + a^2 + a^2b + b^2 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ -a^3 + a^2 + a^2b + b^2 \]

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Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach... [mehr]

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach \( x \) umstellen: \( -2x + 6 = 0 \) \( -2x = -6 \) \( x = \frac{-6}{-2} \) \( x = 3 \) **2. Probe:** Setze \( x = 3 \) in die Ausgangsgleichung ein: \( 3 \cdot 3 + 7 - 5 \cdot 3 - 1 = ? \) \( 9 + 7 - 15 - 1 = ? \) \( 16 - 15 - 1 = ? \) \( 1 - 1 = 0 \) **Ergebnis:** Die Lösung ist \( x = 3 \). Die Probe stimmt.

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Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreib... [mehr]

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Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreibe die Produktform explizit aus:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Das sind genau \(k\) Faktoren, beginnend bei \(n\) und jeweils um 1 kleiner werdend, bis zum Term \(n-k+1\). --- **2. Schreibe die Fakultät \(n!\) aus:** \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **3. Schreibe die Fakultät \((n-k)!\) aus:** \[ (n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **4. Schreibe den Bruch \(\frac{n!}{(n-k)!}\) aus:** \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1}{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1} \] --- **5. Kürze die gemeinsamen Faktoren:** Im Zähler und Nenner stehen die Faktoren \((n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1\). Diese kürzen sich heraus: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot \cancel{(n-k) \cdots 1}}{\cancel{(n-k) \cdots 1}} \] --- **6. Übrig bleibt:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] --- **Fazit:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die gesuchte Umformung.

Gleichung umformen: 4k^2 + 4k = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n

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Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

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