Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Basis von 5 cm und Schenkellängen von 4 cm. Berechne die Höhe und die Innenwinkel.

Um die Höhe und die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Basis von 5 cm und Schenkellängen von 4 cm zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Höhe berechnen**: Die Höhe teilt die Basis in zwei gleich lange Teile. Daher ist jeder Teil der Basis 2,5 cm (5 cm / 2). Wir verwenden den Satz des Pythagoras, um die Höhe \( h \) zu berechnen: \[ h^2 + 2.5^2 = 4^2 \] \[ h^2 + 6.25 = 16 \] \[ h^2 = 16 - 6.25 = 9.75 \] \[ h = \sqrt{9.75} \approx 3.12 \text{ cm} \] 2. **Innenwinkel berechnen**: Um die Innenwinkel zu berechnen, verwenden wir den Kosinussatz. Wir bezeichnen die Winkel an den Schenkeln als \( \alpha \) und den Winkel an der Basis als \( \beta \). Der Kosinussatz lautet: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\beta) \] Hier ist \( c = 5 \) cm (Basis), \( a = b = 4 \) cm (Schenkel). Setzen wir die Werte ein: \[ 5^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(\beta) \] \[ 25 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(\beta) \] \[ 25 = 32 - 32 \cdot \cos(\beta) \] \[ 32 \cdot \cos(\beta) = 32 - 25 = 7 \] \[ \cos(\beta) = \frac{7}{32} \] Um \( \beta \) zu finden, berechnen wir den Winkel: \[ \beta \approx \cos^{-1}\left(\frac{7}{32}\right) \approx 78.46^\circ \] Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, sind die beiden Schenkelwinkel \( \alpha \) gleich: \[ \alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2} \approx \frac{180^\circ - 78.46^\circ}{2} \approx 50.77^\circ \] Zusammenfassend: - Höhe: ca. 3.12 cm - Innenwinkel: \( \alpha \approx 50.77^\circ \) und \( \beta \approx 78.46^\circ \)