Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). D...
Bestimme geordnete Paare natürlicher Zahlen a und b, deren Produkt 8-mal so groß ist wie ihre Summe.
Antwort vomUm die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \) zu finden, die die Bedingung erfüllen, dass das Produkt \( xy \) genau 8-mal so groß ist wie die Summe \( x + y \), stellen wir die Gleichung auf: \[ xy = 8(x + y) \] Diese Gleichung kann umgeformt werden: \[ xy - 8x - 8y = 0 \] Um die Gleichung zu lösen, fügen wir 64 zu beiden Seiten hinzu: \[ xy - 8x - 8y + 64 = 64 \] Nun können wir die linke Seite als Produkt faktorisieren: \[ (x - 8)(y - 8) = 64 \] Jetzt müssen wir die positiven Teiler von 64 finden, da \( x - 8 \) und \( y - 8 \) natürliche Zahlen sein müssen. Die positiven Teiler von 64 sind: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Für jeden Teiler \( d \) setzen wir \( x - 8 = d \) und \( y - 8 = \frac{64}{d} \). Daraus ergeben sich die folgenden Paare: 1. \( d = 1 \): \( x - 8 = 1 \) und \( y - 8 = 64 \) → \( (9, 72) \) 2. \( d = 2 \): \( x - 8 = 2 \) und \( y - 8 = 32 \) → \( (10, 40) \) 3. \( d = 4 \): \( x - 8 = 4 \) und \( y - 8 = 16 \) → \( (12, 24) \) 4. \( d = 8 \): \( x - 8 = 8 \) und \( y - 8 = 8 \) → \( (16, 16) \) 5. \( d = 16 \): \( x - 8 = 16 \) und \( y - 8 = 4 \) → \( (24, 12) \) 6. \( d = 32 \): \( x - 8 = 32 \) und \( y - 8 = 2 \) → \( (40, 10) \) 7. \( d = 64 \): \( x - 8 = 64 \) und \( y - 8 = 1 \) → \( (72, 9) \) Die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \), die die Bedingung erfüllen, sind also: \[ (9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9) \]