Bestimme geordnete Paare natürlicher Zahlen a und b, deren Produkt 8-mal so groß ist wie ihre Summe.

Um die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \) zu finden, die die Bedingung erfüllen, dass das Produkt \( xy \) genau 8-mal so groß ist wie die Summe \( x + y \), stellen wir die Gleichung auf:

\[
xy = 8(x + y)
\]

Diese Gleichung kann umgeformt werden:

\[
xy - 8x - 8y = 0
\]

Um die Gleichung zu lösen, fügen wir 64 zu beiden Seiten hinzu:

\[
xy - 8x - 8y + 64 = 64
\]

Nun können wir die linke Seite als Produkt faktorisieren:

\[
(x - 8)(y - 8) = 64
\]

Jetzt müssen wir die positiven Teiler von 64 finden, da \( x - 8 \) und \( y - 8 \) natürliche Zahlen sein müssen. Die positiven Teiler von 64 sind:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Für jeden Teiler \( d \) setzen wir \( x - 8 = d \) und \( y - 8 = \frac{64}{d} \). Daraus ergeben sich die folgenden Paare:

1. \( d = 1 \): \( x - 8 = 1 \) und \( y - 8 = 64 \) → \( (9, 72) \)
2. \( d = 2 \): \( x - 8 = 2 \) und \( y - 8 = 32 \) → \( (10, 40) \)
3. \( d = 4 \): \( x - 8 = 4 \) und \( y - 8 = 16 \) → \( (12, 24) \)
4. \( d = 8 \): \( x - 8 = 8 \) und \( y - 8 = 8 \) → \( (16, 16) \)
5. \( d = 16 \): \( x - 8 = 16 \) und \( y - 8 = 4 \) → \( (24, 12) \)
6. \( d = 32 \): \( x - 8 = 32 \) und \( y - 8 = 2 \) → \( (40, 10) \)
7. \( d = 64 \): \( x - 8 = 64 \) und \( y - 8 = 1 \) → \( (72, 9) \)

Die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \), die die Bedingung erfüllen, sind also:

\[
(9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9)
\]