Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, wenn ein Würfel dreimal geworfen wird?

Question

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, wenn ein Würfel dreimal geworfen wird?

Antwort

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Ist jeder Würfel ein Prisma?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, wenn ein Würfel dreimal geworfen wird, müssen zunächst die Primzahlen auf einem Würfel identifiziert werden. Die Primzahlen zwischen 1 und 6 sind 2, 3 und 5. Es gibt also 3 Primzahlen und 3 Nicht-Primzahlen (1, 4 und 6). Die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln, beträgt: \[ P(\text{Primzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Die Wahrscheinlichkeit, keine Primzahl zu würfeln, beträgt: \[ P(\text{keine Primzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Nun wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, genau einmal eine Primzahl in drei Würfen zu erhalten. Dies kann auf verschiedene Weisen geschehen: Primzahl im ersten Wurf, im zweiten Wurf oder im dritten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Kombinationen ist: \[ P(\text{genau einmal Primzahl}) = \binom{3}{1} \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^2 \] Hier ist \(\binom{3}{1}\) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, eine Primzahl in einem von drei Würfen zu haben: \[ \binom{3}{1} = 3 \] Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Kombination (z.B. Primzahl im ersten Wurf und keine Primzahl in den anderen beiden) ist: \[ \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \] Da es 3 mögliche Kombinationen gibt, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit: \[ P(\text{genau einmal Primzahl}) = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] Die Wahrscheinlichkeit, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, wenn ein Würfel dreimal geworfen wird, beträgt also: \[ \frac{3}{8} \]

Accepted Answer

Ja, jeder Würfel ist ein spezielles Prisma. Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der zwei parallele Flächen (die Basen) hat, die durch rechteckige Seitenflächen verbunden sind.... [mehr]

Accepted Answer

Ja, jeder Würfel ist ein spezielles Prisma. Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der zwei parallele Flächen (die Basen) hat, die durch rechteckige Seitenflächen verbunden sind. Bei einem Würfel sind die Basen quadratisch und alle Seitenflächen sind ebenfalls quadratisch, was ihn zu einem speziellen Fall eines Prismas macht.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.