Erkläre den erweiterten Dreisatz.

Der erweiterte Dreisatz ist eine Methode zur Lösung von proportionalen Aufgaben, bei denen mehr als zwei Größen in Beziehung zueinander stehen. Er wird häufig verwendet, um Probleme zu lösen, die mit Verhältnissen und Proportionen zu tun haben. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Erklärung1. **Verhältnis aufstellen**: Zunächst identifizierst du die gegebenen Größen und deren Verhältnis zueinander. Zum Beispiel: Wenn 3 Äpfel 1 Euro kosten, dann ist das Verhältnis 3 Äpfel : 1 Euro.

2. **Zielgröße bestimmen**: Überlege, welche Größe du berechnen möchtest. Zum Beispiel: Wie viel kosten 5 Äpfel?

3. **Proportionalität nutzen**: Setze die bekannten Werte in ein Verhältnis zu den gesuchten Werten. In unserem Beispiel:
- 3 Äpfel kosten 1 Euro.
- 5 Äpfel kosten x Euro.

4. **Gleichung aufstellen**: Du kannst eine Gleichung aufstellen, die die Proportionalität beschreibt:
\[
\frac{3 \text{ Äpfel}}{1 \text{ Euro}} = \frac{5 \text{ Äpfel}}{x \text{ Euro}}
\]

5. **Kreuzmultiplikation**: Multipliziere die Werte kreuzweise:
\[
3 \cdot x = 5 \cdot 1
\]
Das ergibt:
\[
3x = 5
\]

6. **Lösen der Gleichung**: Teile beide Seiten durch 3, um x zu isolieren:
\[
x = \frac{5}{3} \approx 1,67 \text{ Euro}
\]

7. **Interpretation**: Das Ergebnis zeigt, dass 5 Äpfel etwa 1,67 Euro kosten.

Der erweiterte Dreisatz kann auch auf komplexere Probleme angewendet werden, bei denen mehrere Größen in Beziehung stehen, indem man die Schritte entsprechend anpasst.