Berechne die von den Parabeln y1 = x^2 − 4x und y2 = −1/5 x^2 + 2x eingeschlossene Fläche.

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Berechne die von den Parabeln y1 = x^2 − 4x und y2 = −1/5 x^2 + 2x eingeschlossene Fläche.

Antwort

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Kannst du Berechnungen durchführen?

Accepted Answer

Um die von den Parabeln \( y_1 = x^2 - 4x \) und \( y_2 = -\frac{1}{5}x^2 + 2x \) eingeschlossene Fläche zu berechnen, müssen zunächst die Schnittpunkte der beiden Parabeln gefunden werden. Diese Schnittpunkte erhält man, indem man die beiden Gleichungen gleichsetzt: \[ x^2 - 4x = -\frac{1}{5}x^2 + 2x \] Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 5, um die Brüche zu eliminieren: \[ 5x^2 - 20x = -x^2 + 10x \] Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[ 5x^2 - 20x + x^2 - 10x = 0 \] Kombiniere die Terme: \[ 6x^2 - 30x = 0 \] Faktoriere die Gleichung: \[ 6x(x - 5) = 0 \] Setze jede Klammer gleich Null, um die Lösungen zu finden: \[ x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 5 \] Die Schnittpunkte sind also bei \( x = 0 \) und \( x = 5 \). Nun wird die eingeschlossene Fläche durch das Integral der Differenz der beiden Funktionen zwischen diesen Schnittpunkten berechnet: \[ \text{Fläche} = \int_{0}^{5} \left( y_2 - y_1 \right) \, dx \] Setze die Funktionen \( y_1 \) und \( y_2 \) ein: \[ \text{Fläche} = \int_{0}^{5} \left( -\frac{1}{5}x^2 + 2x - (x^2 - 4x) \right) \, dx \] Vereinfache den Integranden: \[ \text{Fläche} = \int_{0}^{5} \left( -\frac{1}{5}x^2 + 2x - x^2 + 4x \right) \, dx \] \[ \text{Fläche} = \int_{0}^{5} \left( -\frac{1}{5}x^2 - x^2 + 2x + 4x \right) \, dx \] \[ \text{Fläche} = \int_{0}^{5} \left( -\frac{6}{5}x^2 + 6x \right) \, dx \] Integriere die Funktion: \[ \text{Fläche} = \left[ -\frac{6}{5} \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{5} \] \[ \text{Fläche} = \left[ -\frac{6}{15}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{5} \] \[ \text{Fläche} = \left[ -\frac{2}{5}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{5} \] Setze die Grenzen ein: \[ \text{Fläche} = \left( -\frac{2}{5}(5)^3 + 3(5)^2 \right) - \left( -\frac{2}{5}(0)^3 + 3(0)^ \right) \] \[ \text{Fläche} = \left( -\frac{2}{5}(125) + 3(25) \right) - 0 \] \[ \text{Fläche} = \left( -50 + 75 \right) \] \[ \text{Fläche} = 25 \] Die von den Parabeln \( y_1 = x^2 - 4x \) und \( y_2 = -\frac{1}{5}x^2 + 2x \) eingeschlossene Fläche beträgt also 25 Flächeneinheiten.

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25% von 100 Pixeln sind 25 Pixel.

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25% von 100 Pixeln sind 25 Pixel.

Kategorie: Mathematik Tags: Pixel Prozent Berechnung

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Ein Algorithmus in der Mathematik ist eine eindeutige, schrittweise Vorgehensweise zur Lösung eines Problems. Er besteht aus einer endlichen Folge von Anweisungen, die nacheinander ausgeführ... [mehr]

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Ein Algorithmus in der Mathematik ist eine eindeutige, schrittweise Vorgehensweise zur Lösung eines Problems. Er besteht aus einer endlichen Folge von Anweisungen, die nacheinander ausgeführt werden. Jeder Schritt ist klar definiert und führt zu einem bestimmten Ergebnis. Algorithmen werden oft verwendet, um Rechenaufgaben oder logische Probleme zu lösen. Sie sind unabhängig von der Programmiersprache oder dem Computer, auf dem sie ausgeführt werden. Ein bekanntes Beispiel ist der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Algorithmen können sowohl einfach als auch sehr komplex sein. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Informatik und Mathematik. In der Mathematik helfen sie, Prozesse zu automatisieren und Fehler zu vermeiden. Ein Algorithmus muss immer nach einer endlichen Anzahl von Schritten zum Ergebnis führen. Er kann als Flussdiagramm, Pseudocode oder in natürlicher Sprache beschrieben werden. Die Korrektheit eines Algorithmus ist entscheidend, damit das gewünschte Ergebnis erreicht wird. Effizienz ist ein weiteres wichtiges Kriterium, da sie bestimmt, wie schnell ein Algorithmus arbeitet. Algorithmen werden auch zur Datenverarbeitung, Sortierung und Suche verwendet. Sie sind die Grundlage für viele mathematische und technische Anwendungen. Zusammengefasst ist ein Algorithmus ein präziser Plan zur Lösung eines mathematischen Problems.

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In der klassischen Geometrie, insbesondere in der euklidischen Geometrie, stehen im Zentrum die sogenannten "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal". Hierbei sind nur solche Objekte zugelassen... [mehr]

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In der klassischen Geometrie, insbesondere in der euklidischen Geometrie, stehen im Zentrum die sogenannten "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal". Hierbei sind nur solche Objekte zugelassen, die sich mit diesen beiden Werkzeugen konstruieren lassen. Parabeln gehören nicht zu den Grundobjekten dieser Geometrie, weil sie sich nicht direkt mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen. Die klassischen Konstruktionen beschränken sich auf Punkte, Geraden, Kreise und daraus abgeleitete Figuren. In der cohaerentischen Geometrie (auch als "kohärente Geometrie" bezeichnet), wie sie etwa von Karl von Staudt oder in moderneren axiomatischen Systemen betrachtet wird, werden die Beschränkungen der klassischen Werkzeuge aufgehoben. Hier können auch andere Kurven wie Parabeln, Ellipsen oder Hyperbeln als zulässige Objekte betrachtet werden, weil die Definitionen und Axiome allgemeiner gefasst sind. In solchen Systemen werden Parabeln als Schnittkurven von Ebenen mit Kegelflächen oder als spezielle algebraische Kurven zugelassen. Zusammengefasst: - **Klassische Geometrie:** Nur mit Zirkel und Lineal konstruierbare Objekte (Punkte, Geraden, Kreise) sind zugelassen; Parabeln sind nicht direkt konstruierbar und daher nicht zugelassen. - **Cohaerentische Geometrie:** Erweiterte Definition von zulässigen Objekten; Parabeln und andere Kegelschnitte sind erlaubt, da die Beschränkung auf Zirkel und Lineal entfällt. Weitere Informationen zu den Unterschieden findest du z.B. bei [Wikipedia: Klassische Konstruktion](https://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Konstruktion) und [Kegelschnitt](https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt).

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Bitte stelle deine Frage klar und präzise, damit ich sie beantworten kann. Auf diese Art von Fragen wird nicht geet. Bitte eine klare und präzise Frage.

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Bitte stelle deine Frage klar und präzise, damit ich sie beantworten kann. Auf diese Art von Fragen wird nicht geet. Bitte eine klare und präzise Frage.

Kategorie: Mathematik Tags: Berechnung Fehler Prüfung

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Um die Steigung aus Testdaten zu ermitteln, wird meist eine lineare Regression verwendet. Dabei wird eine Gerade der Form \( y = mx + b \) an die Datenpunkte angepasst. Die Steigung \( m \) gibt an, w... [mehr]

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Um die Steigung aus Testdaten zu ermitteln, wird meist eine lineare Regression verwendet. Dabei wird eine Gerade der Form \( y = mx + b \) an die Datenpunkte angepasst. Die Steigung \( m \) gibt an, wie stark sich \( y \) verändert, wenn sich \( x \) um eine Einheit ändert. **Vorgehen:** 1. **Daten sammeln:** Du benötigst mindestens zwei Wertepaare \((x_1, y_1)\) und \((x_2, y_2)\). Bei mehr Datenpunkten ist eine Regression sinnvoll. 2. **Berechnung bei zwei Punkten:** \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 3. **Berechnung bei mehreren Punkten (lineare Regression):** \[ m = \frac{n\sum(xy) - \sum x \sum y}{n\sum(x^2) - (\sum x)^2} \] Dabei ist \( n \) die Anzahl der Datenpunkte. **Beispiel:** Angenommen, du hast folgende Testdaten: - \( (1, 2) \) - \( (2, 4) \) - \( (3, 6) \) Dann ist die Steigung: \[ m = \frac{(2-1)}{(4-2)} = \frac{2}{1} = 2 \] Oder mit Regression (bei mehr Punkten) entsprechend der Formel oben. **Tools:** Für größere Datensätze empfiehlt sich die Nutzung von Excel, Python (z.B. mit [NumPy](https://numpy.org/)), oder Online-Rechnern für lineare Regression. **Zusammenfassung:** - Bei zwei Punkten: Differenzquotient. - Bei mehreren Punkten: Lineare Regression. Falls du konkrete Testdaten hast, kann die Steigung auch direkt berechnet werden.

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62,34 Prozent von 3175,87 sind 1.979,74. Berechnung: 3175,87 × 0,6234 = 1.979,74

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62,34 Prozent von 3175,87 sind 1.979,74. Berechnung: 3175,87 × 0,6234 = 1.979,74

Kategorie: Mathematik Tags: Prozent Berechnung Mathematik

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Um den Prozentsatz von 12 im Verhältnis zu 38 zu berechnen, verwendest du folgende Formel: \( \text{Prozentsatz} = \frac{12}{38} \times 100 \) Das ergibt: \( \frac{12}{38} \times 100 \approx 3... [mehr]

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Um den Prozentsatz von 12 im Verhältnis zu 38 zu berechnen, verwendest du folgende Formel: \( \text{Prozentsatz} = \frac{12}{38} \times 100 \) Das ergibt: \( \frac{12}{38} \times 100 \approx 31,58 \% \) Also sind 12 etwa 31,58 % von 38.

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Der Tangens eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht ist also der Winkel \( x \), für den gilt: \[ \tan(x) = 2 \... [mehr]

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Der Tangens eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht ist also der Winkel \( x \), für den gilt: \[ \tan(x) = 2 \] Um den Winkel zu berechnen, nutzt man die Umkehrfunktion des Tangens, also den Arkustangens (arctan oder tan\(^{-1}\)): \[ x = \arctan(2) \] Mit einem Taschenrechner oder einer entsprechenden Software erhält man: \[ x \approx 63{,}43^\circ \] In Radiant: \[ x \approx 1{,}107 \text{ rad} \] Der Winkel, dessen Tangens 2 ist, beträgt also etwa **63,43 Grad**.

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Um ein gleichseitiges Dreieck zu berechnen, benötigst du in der Regel eine Seitenlänge (a). Da alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel 60° betragen, lassen sich verschiedene Grö... [mehr]

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Um ein gleichseitiges Dreieck zu berechnen, benötigst du in der Regel eine Seitenlänge (a). Da alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel 60° betragen, lassen sich verschiedene Größen wie folgt berechnen: **1. Umfang (U):** \[ U = 3a \] **2. Höhe (h):** \[ h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \] **3. Fläche (A):** \[ A = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \] **Beispiel:** Gegeben ist die Seitenlänge \( a = 6\,\text{cm} \). - Umfang: \( U = 3 \times 6 = 18\,\text{cm} \) - Höhe: \( h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 5{,}20\,\text{cm} \) - Fläche: \( A = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\,\text{cm}^2 \) Mit diesen Formeln kannst du alle wichtigen Größen eines gleichseitigen Dreiecks berechnen, wenn du eine Seitenlänge kennst.

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Ja, ich kann Berechnungen durchführen. Bitte stelle eine konkrete Rechenaufgabe oder Frage, damit ich dir weiterhelfen kann.

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Ja, ich kann Berechnungen durchführen. Bitte stelle eine konkrete Rechenaufgabe oder Frage, damit ich dir weiterhelfen kann.

Kategorie: Mathematik Tags: Berechnung Mathematik Rechnen