Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Werfen einer Münze höchstens zweimal Kopf zu erhalten?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei dreimaligem Werfen einer Münze höchstens zweimal "Kopf" erscheint, kann man die Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" bei einem Münzwurf beträgt 0,5.

Die möglichen Ergebnisse sind:
- 0-mal "Kopf"
- 1-mal "Kopf"
- 2-mal "Kopf"
- 3-mal "Kopf"

Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Ergebnisse kann mit der Binomialverteilung berechnet werden:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

wobei:
- \( n = 3 \) (Anzahl der Würfe)
- \( k \) die Anzahl der Erfolge (Kopf)
- \( p = 0.5 \) (Wahrscheinlichkeit für "Kopf")

Berechnungen:

1. \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = \binom{3}{0} (0.5)^0 (0.5)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.125 = 0.125 \]

2. \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = \binom{3}{1} (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.25 = 0.375 \]

3. \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 0.375 \]

4. \( P(X = 3) \):
\[ P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.5)^3 (0.5)^0 = 1 \cdot 0.125 \cdot 1 = 0.125 \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zweimal "Kopf" erscheint, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 "Kopf":

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.125 + 0.375 + 0.375 = 0.875 \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Werfen einer Münze höchstens zweimal "Kopf" erscheint, beträgt also 0.875 oder 87,5%.