Wie ermittle ich die Definitions- und Lösungsmenge bei 6/x + 5 = 41?

Question

Wie ermittle ich die Definitions- und Lösungsmenge bei 6/x + 5 = 41?

Antwort

Verwandte Fragen

Warum werden ganze Zahlen rational genannt und was haben sie mit Vernunft zu tun?

Welche Formeln gelten für Wertemenge und Definitionsmenge linearer Funktionen?

Accepted Answer

Um die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung \( \frac{6}{x} + 5 = 41 \) im Bereich der rationalen Zahlen zu ermitteln, gehst du wie folgt vor: 1. **Definitionsmenge**: Die Definitionsmenge umfasst alle Werte, die für \( x \) zulässig sind. Da der Bruch \( \frac{6}{x} \) nicht definiert ist, wenn \( x = 0 \), ist die Definitionsmenge \( \mathbb{Q} \setminus \{0\} \) (alle rationalen Zahlen außer 0). 2. **Lösungsmenge**: Um die Lösungsmenge zu finden, löse die Gleichung: \[ \frac{6}{x} + 5 = 41 \] Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \[ \frac{6}{x} = 36 \] Multipliziere beide Seiten mit \( x \) (wobei \( x \neq 0 \)): \[ 6 = 36x \] Teile beide Seiten durch 36: \[ x = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] Die Lösungsmenge ist somit \( \{ \frac{1}{6} \} \). Zusammenfassend: - **Definitionsmenge**: \( \mathbb{Q} \setminus \{0\} \) - **Lösungsmenge**: \( \{ \frac{1}{6} \} \)

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Der Begriff „rational“ bei Zahlen stammt vom lateinischen Wort „ratio“, das „Verhältnis“ oder „Quotient“ bedeutet. Rationale Zahlen sind alle Zahle... [mehr]

Accepted Answer

Der Begriff „rational“ bei Zahlen stammt vom lateinischen Wort „ratio“, das „Verhältnis“ oder „Quotient“ bedeutet. Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch (also als Verhältnis zweier ganzer Zahlen) dargestellt werden können, zum Beispiel 3/1, -5/2 oder 7/3. Ganze Zahlen (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…) sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen, weil jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben werden kann (z. B. 4 = 4/1). Deshalb nennt man sie auch „rational“. Mit „Vernunft“ im Sinne von „rationalem Denken“ hat das mathematische Wort „rational“ nichts zu tun. Es geht nur um das mathematische Verhältnis (Quotient) zweier ganzer Zahlen.

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Für lineare Funktionen gelten folgende Formeln und Definitionen bezüglich Wertemenge und Definitionsmenge: **1. Allgemeine Form einer linearen Funktion:** \[ f(x) = mx + b \] wobei \( m \)... [mehr]

Accepted Answer

Für lineare Funktionen gelten folgende Formeln und Definitionen bezüglich Wertemenge und Definitionsmenge: **1. Allgemeine Form einer linearen Funktion:** \[ f(x) = mx + b \] wobei \( m \) die Steigung und \( b \) der y-Achsenabschnitt ist. **2. Definitionsmenge (\( D \)):** Die Definitionsmenge einer linearen Funktion ist normalerweise die Menge aller reellen Zahlen: \[ D = \mathbb{R} \] Das bedeutet, du kannst für \( x \) jeden beliebigen reellen Wert einsetzen. **3. Wertemenge (\( W \)):** Die Wertemenge einer linearen Funktion ist ebenfalls die Menge aller reellen Zahlen: \[ W = \mathbb{R} \] Das gilt, solange \( m \neq 0 \), also die Funktion keine konstante Funktion ist. **Sonderfall:** Wenn \( m = 0 \), also \( f(x) = b \), ist die Funktion konstant. Dann ist die Wertemenge: \[ W = \{b\} \] Das heißt, alle Funktionswerte sind gleich \( b \). **Zusammenfassung:** - **Definitionsmenge:** \( D = \mathbb{R} \) - **Wertemenge:** \( W = \mathbb{R} \) (für \( m \neq 0 \)), sonst \( W = \{b\} \) Diese Aussagen gelten für lineare Funktionen ohne Einschränkungen des Definitionsbereichs. Bei Einschränkungen (z.B. nur für \( x \geq 0 \)) ändern sich Definitions- und Wertemenge entsprechend.