2 Fragen zu Rationalezahlen

Um die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung \( \frac{6}{x} + 5 = 41 \) im Bereich der rationalen Zahlen zu ermitteln, gehst du wie folgt vor: 1. **Definitionsmenge**: Die Definitionsmenge umfasst alle Werte, die für \( x \) zulässig sind. Da der Bruch \( \frac{6}{x} \) nicht definiert ist, wenn \( x = 0 \), ist die Definitionsmenge \( \mathbb{Q} \setminus \{0\} \) (alle rationalen Zahlen außer 0). 2. **Lösungsmenge**: Um die Lösungsmenge zu finden, löse die Gleichung: \[ \frac{6}{x} + 5 = 41 \] Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \[ \frac{6}{x} = 36 \] Multipliziere beide Seiten mit \( x \) (wobei \( x \neq 0 \)): \[ 6 = 36x \] Teile beide Seiten durch 36: \[ x = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] Die Lösungsmenge ist somit \( \{ \frac{1}{6} \} \). Zusammenfassend: - **Definitionsmenge**: \( \mathbb{Q} \setminus \{0\} \) - **Lösungsmenge**: \( \{ \frac{1}{6} \} \)

Der Begriff „rational“ bei Zahlen stammt vom lateinischen Wort „ratio“, das „Verhältnis“ oder „Quotient“ bedeutet. Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch (also als Verhältnis zweier ganzer Zahlen) dargestellt werden können, zum Beispiel 3/1, -5/2 oder 7/3. Ganze Zahlen (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…) sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen, weil jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben werden kann (z. B. 4 = 4/1). Deshalb nennt man sie auch „rational“. Mit „Vernunft“ im Sinne von „rationalem Denken“ hat das mathematische Wort „rational“ nichts zu tun. Es geht nur um das mathematische Verhältnis (Quotient) zweier ganzer Zahlen.