Beweise, dass A U B = A U (B \ A) für Mengen A, B, C gilt.

Um die Aussage \( A \cup B = A \cup (B \setminus A) \) zu beweisen, zeigen wir, dass beide Seiten der Gleichung gleich sind, indem wir die Mengenoperationen und die Definitionen der Vereinigungs- und Differenzmengen verwenden.

1. **Definitionen**:
- Die Vereinigung \( A \cup B \) ist die Menge aller Elemente, die in \( A \), in \( B \) oder in beiden enthalten sind.
- Die Differenz \( B \setminus A \) ist die Menge aller Elemente, die in \( B \) sind, aber nicht in \( A \).

2. **Beweis**:
Um zu zeigen, dass \( A \cup B = A \cup (B \setminus A) \), müssen wir zeigen, dass jedes Element in \( A \cup B \) auch in \( A \cup (B \setminus A) \) ist und umgekehrt.

- **Teil 1: \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus A) \)**:
- Sei \( x \in A \cup B \). Dann gilt:
- Entweder \( x \in A \) oder \( x \in B \).
- Wenn \( x \in A \), dann ist \( x \in A \cup (B \setminus A) \).
- Wenn \( x \in B \), dann gibt es zwei Möglichkeiten:
- Wenn \( x \in A \), dann ist \( x \in A \cup (B \setminus A) \).
- Wenn \( x \notin A \), dann ist \( x \in B \setminus A \) und somit \( x \in A \cup (B \setminus A) \).
- In beiden Fällen ist \( x \in A \cup (B \setminus A) \). Daher gilt \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus A) \).

- **Teil 2: \( A \cup (B \setminus A) \subseteq A \cup B \)**:
- Sei \( x \in A \cup (B \setminus A) \). Dann gilt:
- Entweder \( x \in A \) oder \( x \in (B \setminus A) \).
- Wenn \( x \in A \), dann ist \( x \in A \cup B \).
- Wenn \( x \in (B \setminus A) \), dann ist \( x \in B \) und somit auch \( x \in A \cup B \).
- In beiden Fällen ist \( x \in A \cup B \). Daher gilt \( A \cup (B \setminus A) \subseteq A \cup B \).

3. **Schlussfolgerung**:
Da wir gezeigt haben, dass \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus A) \) und \( A \cup (B \setminus A) \subseteq A \cup B \), folgt, dass \( A \cup B = A \cup (B \setminus A) \).

Damit ist die Aussage bewiesen.