Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut...
Berechne Nullstellen von f(x)=-9-2x²+32x⁴.
Antwort vomUm die Nullstellen der Funktion \( f(x) = -9 - 2x^2 + 32x^4 \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ -9 - 2x^2 + 32x^4 = 0 \] Um die Gleichung zu vereinfachen, kann man sie umstellen: \[ 32x^4 - 2x^2 - 9 = 0 \] Nun setzen wir \( y = x^2 \), um die Gleichung in eine quadratische Form zu bringen: \[ 32y^2 - 2y - 9 = 0 \] Jetzt verwenden wir die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) zur Lösung der Gleichung: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier sind \( a = 32 \), \( b = -2 \) und \( c = -9 \). Setzen wir die Werte ein: \[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-9)}}{2 \cdot 32} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 1152}}{64} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{1156}}{64} \] \[ y = \frac{2 \pm 34}{64} \] Nun berechnen wir die beiden Lösungen für \( y \): 1. \( y_1 = \frac{36}{64} = \frac{9}{16} \) 2. \( y_2 = \frac{-32}{64} = -\frac{1}{2} \) (dieser Wert ist nicht gültig, da \( y = x^2 \) immer nicht-negativ ist) Jetzt setzen wir \( y = x^2 \) zurück: \[ x^2 = \frac{9}{16} \] Daraus ergeben sich die Nullstellen: \[ x = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4} \] Die Nullstellen der Funktion \( f(x) = -9 - 2x^2 + 32x^4 \) sind also: \[ x = \frac{3}{4} \quad \text{und} \quad x = -\frac{3}{4} \]
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