Beispiele für Funktionen, die keine ganzrationalen Funktionen sind

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Beispiele für Funktionen, die keine ganzrationalen Funktionen sind

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Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Warum wächst e^x schneller als x^n?

Accepted Answer

Es gibt viele Funktionen, die keine ganzrationalen Funktionen sind. Hier sind einige Beispiele: 1. **Exponentialfunktionen**: \( f(x) = e^x \) oder \( f(x) = 2^x \) 2. **Logarithmische Funktionen**: \( f(x) = \log(x) \) 3. **Trigonometrische Funktionen**: \( f(x) = \sin(x) \) oder \( f(x) = \cos(x) \) 4. **Wurzelfunktionen**: \( f(x) = \sqrt{x} \) 5. **Bruchfunktionen**: \( f(x) = \frac{1}{x} \) 6. **Irrationale Funktionen**: \( f(x) = x^{1/3} \) (Kubikwurzel) 7. **Stückweise definierte Funktionen**: Eine Funktion, die in verschiedenen Intervallen unterschiedliche Ausdrücke hat, wie z.B. die Betragsfunktion \( f(x) = |x| \). Diese Funktionen sind nicht als endliche Summen von Potenzen von \( x \) mit ganzzahligen Koeffizienten darstellbar, was sie von ganzrationalen Funktionen unterscheidet.

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig vo... [mehr]

Accepted Answer

Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.