Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]...
Ableitung (x^2+2x-1)/((x+1)^2)?
Antwort vomUm die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2} \) zu berechnen, wird die Quotientenregel verwendet. Die Quotientenregel besagt, dass für zwei Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \), die Ableitung von \( \frac{u(x)}{v(x)} \) gegeben ist durch: \[ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Hier ist \( u(x) = x^2 + 2x - 1 \) und \( v(x) = (x+1)^2 \). Zuerst werden die Ableitungen von \( u(x) \) und \( v(x) \) berechnet: 1. \( u(x) = x^2 + 2x - 1 \) \[ u'(x) = 2x + 2 \] 2. \( v(x) = (x+1)^2 \) \[ v(x) = x^2 + 2x + 1 \ \[ v'(x) = 2x + 2 \] Nun wird die Quotientenregel angewendet: \[ f'(x) = \frac{(2x + 2)(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + 2x - 1)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 1)^2} \] Der Zähler wird vereinfacht: \[ (2x + 2)(x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 4x^2 + 2x + 2x^2 + 4x + 2 = 2x^3 + 6x^2 + 6x + 2 \] \[ (x^2 + 2x - 1)(2x + 2) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 4x^2 + 4x - 2 = 2x^3 + 6x^2 + 2x - 2 \] Der Zähler der Ableitung ist dann: \[ 2x^3 + 6x^2 + 6x + 2 - (2x^3 + 6x^2 + 2x - 2) = 2x^3 + 6x^2 + 6x + 2 - 2x^3 - 6x^2 - 2x + 2 = 4x + 4 \] Der Nenner bleibt: \[ (x^2 + 2x + 1)^2 \] Somit ist die Ableitung: \[ f'(x) = \frac{4(x + 1)}{(x^2 + 2x + 1)^2} \] Da \( (x^2 + 2x + 1) = (x+1)^2 \), wird der Nenner zu \( ((x+1)^2)^2 = (x+1)^4 \). Die endgültige Ableitung ist: \[ f'(x) = \frac{4(x + 1)}{(x + 1)^4} = \frac{4}{(x + 1)^3} \]
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