Welche Aussage gilt im binären Kontext für die Gleichung a + b = 2^n - 1?

Question

Accepted Answer

Im binären Kontext beschreibt die Gleichung $ a + b = 2^n - 1 $, dass die Summe der beiden Zahlen $ a $ und $ b $ gleich der maximalen Zahl ist, die mit $ n $ Bits dargestellt werden kann.

Die Zahl $ 2^n - 1 $ entspricht im Binärsystem einer Zahl, die aus $ n $ Einsen besteht (z.B. für $ n = 3 $ ist $ 2^3 - 1 = 7 $, was im Binärsystem $ 111 $ entspricht).

Das bedeutet, dass $ a $ und $ b $ so gewählt werden müssen, dass ihre binären Darstellungen zusammen alle $ n $ Bits abdecken, ohne dass es zu Überträgen kommt. In anderen Worten, die Bits von $ a $ und $ b $ müssen so kombiniert werden, dass sie in jeder Position entweder eine Eins oder eine Null haben, aber niemals beide Einsen gleichzeitig, um die Gleichung zu erfüllen.

Zusammengefasst: $ a $ und $ b $ müssen komplementär sein, sodass ihre Summe die maximale darstellbare Zahl mit $ n $ Bits ergibt.

Welche Aussage gilt im binären Kontext für die Gleichung a + b = 2^n - 1?

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