Was passiert mit dem Volumen, wenn man den Radius eines Zylinders verdoppelt?

Question

Was passiert mit dem Volumen, wenn man den Radius eines Zylinders verdoppelt?

Antwort

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Was passiert, wenn man bei einem Kegel den Radius um 1 cm verlängert?

Ist der Durchmesser d eines Kreises eine Funktion des Radius r?

Was unterscheidet einen Zylinder von einem Würfel, Quader und sechsseitigen Prisma?

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Was ist der Radius eines Kreises?

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Wie trägt man in einem Kreis einen Radius ein?

Wie groß ist das Volumen des Hexaeders bei einer Kantenlänge von 6 cm?

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Wenn du den Radius eines Zylinders verdoppelst, ändert sich das Volumen des Zylinders erheblich. Das Volumen \( V \) eines Zylinders wird durch die Formel \( V = \pi r^2 h \) berechnet, wobei \( r \) der Radius und \( h \) die Höhe des Zylinders ist. Wenn der Radius verdoppelt wird, also \( r \) durch \( 2r \) ersetzt wird, lautet die neue Volumenformel: \[ V_{\text{neu}} = \pi (2r)^2 h = \pi \cdot 4r^2 \cdot h = 4 \pi r^2 h \] Das bedeutet, dass das neue Volumen viermal so groß ist wie das ursprüngliche Volumen. Wenn du also den Radius eines Zylinders verdoppelst, vervierfacht sich das Volumen.

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Ja, das ist korrekt. Wenn der Radius eines Kegels um 1 cm verlängert wird und sich das Volumen um π cm³ vergrößert, kann dies mathematisch überprüft werden. Das Volu... [mehr]

Accepted Answer

Ja, das ist korrekt. Wenn der Radius eines Kegels um 1 cm verlängert wird und sich das Volumen um π cm³ vergrößert, kann dies mathematisch überprüft werden. Das Volumen \( V \) eines Kegels wird durch die Formel \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 \) berechnet, \( r \) der und \( h \) die Höhe des Kegels ist. Wenn der Radius um 1 cm verlängert wird, ändert sich der Radius von \( r \) zu \( r + 1 \). Das neue Volumen \( V' \) ist dann: \[ V' = \frac{1}{3} \pi (r + 1)^2 h \] Die Volumenzunahme \( \Delta V \) ist: \[ \Delta V = V' - V \] Setzen wir die Volumenformeln ein: \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi (r + 1)^2 h - \frac{1}{3} \pi r^2 h \] \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi h [(r + 1)^2 - r^2] \] \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi h [r^2 + 2r + 1 - r^2] \] \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi h [2r + 1] \] Wenn die Volumenzunahme \( \Delta V \) gleich π cm³ ist, dann: \[ \frac{1}{3} \pi h (2r + 1) = \pi \] Teile beide Seiten durch π: \[ \frac{1}{3} h (2r + 1) = 1 \] Multipliziere beide Seiten mit 3: \[ h (2r + 1) = 3 \] Das ist die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit die Volumenzunahme genau π cm³ beträgt.

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Ja, der Durchmesser \( d \) eines Kreises ist eine Funktion des Radius \( r \). Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius, was mathematisch durch die Formel \( d = 2r \) ausgedrückt wird. Das b... [mehr]

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Ja, der Durchmesser \( d \) eines Kreises ist eine Funktion des Radius \( r \). Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius, was mathematisch durch die Formel \( d = 2r \) ausgedrückt wird. Das bedeutet, wenn du den Radius kennst, kannst du den Durchmesser leicht berechnen.

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Ein Zylinder, ein Würfel, ein Quader und ein sechsseitiges Prisma sind geometrische Formen, die sich in mehreren Aspekten unterscheiden: 1. **Zylinder**: - Hat zwei parallele, kreisförmi... [mehr]

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Ein Zylinder, ein Würfel, ein Quader und ein sechsseitiges Prisma sind geometrische Formen, die sich in mehreren Aspekten unterscheiden: 1. **Zylinder**: - Hat zwei parallele, kreisförmige Basen. - Die Seitenfläche ist gekrümmt. - Die Höhe ist der Abstand zwischen den beiden Basen. 2. **Würfel**: - Ist ein spezieller Quader mit sechs gleich großen quadratischen Flächen. - Alle Kanten sind gleich lang. - Hat 12 Kanten, 8 Ecken und 6 Flächen. 3. **Quader**: - Hat sechs rechteckige Flächen, die nicht unbedingt gleich groß sind. - Die gegenüberliegenden Flächen sind gleich groß. - Hat 12 Kanten, 8 Ecken und 6 Flächen. 4. **Sechsseitiges Prisma**: - Hat zwei parallele, gleich große sechseckige Basen. - Die Seitenflächen sind Rechtecke. - Die Höhe ist der Abstand zwischen den beiden Basen. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Hauptunterschied in der Form der Basen und der Art der Seitenflächen liegt. Der Zylinder hat kreisförmige Basen, während der Würfel und der Quader rechteckige Flächen haben, wobei der Würfel spezielle Eigenschaften hat. Das sechsseitige Prisma hat sechseckige Basen.

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Ja, der Durchmesser eines Zylinders ist die Breite des Zylinders an seiner Basis. Er ist der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten auf dem Rand der Basis und verläuft durch das Ze... [mehr]

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Ja, der Durchmesser eines Zylinders ist die Breite des Zylinders an seiner Basis. Er ist der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten auf dem Rand der Basis und verläuft durch das Zentrum des Zylinders. Der Durchmesser ist also eine wichtige Größe, um die Größe des Zylinders zu beschreiben.

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Ja, ein Zylinder hat eine Länge, die oft als Höhe bezeichnet wird. Diese Höhe ist der Abstand zwischen den beiden parallelen Grundflächen des Zylinders. Zusätzlich hat ein Zyl... [mehr]

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Ja, ein Zylinder hat eine Länge, die oft als Höhe bezeichnet wird. Diese Höhe ist der Abstand zwischen den beiden parallelen Grundflächen des Zylinders. Zusätzlich hat ein Zylinder auch einen Durchmesser oder Radius, der die Größe der Grundfläche beschreibt.

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Ein Zylinder hat keine "Breite" im klassischen Sinne, da er eine dreidimensionale Form ist. Stattdessen beschreibt man einen Zylinder durch seinen Durchmesser (oder Radius) der Basis, seine... [mehr]

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Ein Zylinder hat keine "Breite" im klassischen Sinne, da er eine dreidimensionale Form ist. Stattdessen beschreibt man einen Zylinder durch seinen Durchmesser (oder Radius) der Basis, seine Höhe und seine Länge. Die Begriffe "Breite" und "Länge" sind eher für zweidimensionale Formen geeignet. In einem Zylinder könnte man die Basis als die "Breite" betrachten, aber das ist nicht die übliche Terminologie.

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Der Radius eines Kreises ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises. Er ist die Hälfte des Durchmessers, der die längste Linie ist, die durch den Mit... [mehr]

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Der Radius eines Kreises ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises. Er ist die Hälfte des Durchmessers, der die längste Linie ist, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft und zwei Punkte auf dem Rand verbindet. Der Radius wird oft mit dem Buchstaben "r" bezeichnet.

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Eine Kugel ist ein dreidimensionales geometr Objekt, das aus allen Punkten besteht, die einen festen Abstand (den Radius) von einem zentralen Punkt (dem Mittelpunkt) haben. Die wichtigsten Eigenschaft... [mehr]

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Eine Kugel ist ein dreidimensionales geometr Objekt, das aus allen Punkten besteht, die einen festen Abstand (den Radius) von einem zentralen Punkt (dem Mittelpunkt) haben. Die wichtigsten Eigenschaften einer Kugel sind: 1. **Volumen**: Das Volumen \( V \) einer Kugel wird mit der Formel \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) berechnet, wobei \( r \) der Radius der Kugel ist. 2. **Oberfläche**: Die Oberfläche \( A \) einer Kugel wird mit der Formel \( A = 4 \pi r^2 \) berechnet. 3. **Symmetrie**: Eine Kugel ist in alle Richtungen symmetrisch, was bedeutet, dass sie in jeder Richtung gleich aussieht. Kugeln finden in vielen Bereichen Anwendung, von der Mathematik über die Physik bis hin zur Ingenieurwissenschaft.

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Um in einem Kreis einen Radius einzuzeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme den Mittelpunkt des Kreises**: Der Mittelpunkt ist der Punkt, der von allen Punkten des Kreises gleich weit entfern... [mehr]

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Um in einem Kreis einen Radius einzuzeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme den Mittelpunkt des Kreises**: Der Mittelpunkt ist der Punkt, der von allen Punkten des Kreises gleich weit entfernt ist. 2. **Wähle einen Punkt auf dem Rand des Kreises**: Dieser Punkt kann beliebig auf der Kreislinie liegen. 3. **Zeichne eine Linie vom Mittelpunkt zum gewählten Punkt auf dem Rand**: Diese Linie ist der Radius des Kreises. Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.

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Ein Hexaeder, auch als Würfel bekannt, hat sechs gleich große quadratische Flächen. Das Volumen \( V \) eines Würfels berechnet sich mit der Formel: \[ V = a^3 \] wobei \( a \)... [mehr]

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Ein Hexaeder, auch als Würfel bekannt, hat sechs gleich große quadratische Flächen. Das Volumen \( V \) eines Würfels berechnet sich mit der Formel: \[ V = a^3 \] wobei \( a \) die Kantenlänge des Würfels ist. Wenn die Kantenlänge \( a = 6 \) cm beträgt, dann ist das Volumen: \[ V = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \text{ cm}^3 \] Das Volumen des Hexaeders beträgt also 216 cm³.