Wie groß ist das Volumen des Hexaeders bei einer Kantenlänge von 6 cm?

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Wie groß ist das Volumen des Hexaeders bei einer Kantenlänge von 6 cm?

Antwort

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Was passiert mit dem Volumen, wenn man den Radius eines Zylinders verdoppelt?

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Ein Hexaeder, auch als Würfel bekannt, hat sechs gleich große quadratische Flächen. Das Volumen \( V \) eines Würfels berechnet sich mit der Formel: \[ V = a^3 \] wobei \( a \) die Kantenlänge des Würfels ist. Wenn die Kantenlänge \( a = 6 \) cm beträgt, dann ist das Volumen: \[ V = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \text{ cm}^3 \] Das Volumen des Hexaeders beträgt also 216 cm³.

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Eine Kugel ist ein dreidimensionales geometr Objekt, das aus allen Punkten besteht, die einen festen Abstand (den Radius) von einem zentralen Punkt (dem Mittelpunkt) haben. Die wichtigsten Eigenschaft... [mehr]

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Eine Kugel ist ein dreidimensionales geometr Objekt, das aus allen Punkten besteht, die einen festen Abstand (den Radius) von einem zentralen Punkt (dem Mittelpunkt) haben. Die wichtigsten Eigenschaften einer Kugel sind: 1. **Volumen**: Das Volumen \( V \) einer Kugel wird mit der Formel \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) berechnet, wobei \( r \) der Radius der Kugel ist. 2. **Oberfläche**: Die Oberfläche \( A \) einer Kugel wird mit der Formel \( A = 4 \pi r^2 \) berechnet. 3. **Symmetrie**: Eine Kugel ist in alle Richtungen symmetrisch, was bedeutet, dass sie in jeder Richtung gleich aussieht. Kugeln finden in vielen Bereichen Anwendung, von der Mathematik über die Physik bis hin zur Ingenieurwissenschaft.

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Ein Dodekaeder ist ein platonischer Körper mit 12 regelmäßigen Fünfecken als Flächen. Die Formel zur Berechnung der Oberfläche \(A\) eines Dodekaeders mit der Kantenl&au... [mehr]

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Ein Dodekaeder ist ein platonischer Körper mit 12 regelmäßigen Fünfecken als Flächen. Die Formel zur Berechnung der Oberfläche \(A\) eines Dodekaeders mit der Kantenlänge \(a\) lautet: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot a^2 \] Setze \(a = 3{,}5 \, \text{cm}\) in die Formel ein: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot (3{,}5)^2 \] Berechne zuerst \((3{,}5)^2\): \[ (3{,}5)^2 = 12{,}25 \] Nun setze dies in die Formel ein: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot 12{,}25 \] Berechne den Ausdruck unter der Wurzel: \[ 25 + 10\sqrt{5} \approx 25 + 10 \cdot 2{,}236 = 25 + 22{,}36 = 47{,}36 \] Nun die Wurzel ziehen: \[ \sqrt{47{,}36} \approx 6{,}88 \] Setze dies in die Formel ein: \[ A = 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 \] Multipliziere die Werte: \[ A \approx 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 = 3 \cdot 84{,}28 = 252{,}84 \] Die Oberfläche des Dodekaeders beträgt also ungefähr \(252{,}84 \, \text{cm}^2\).

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Die Oberfläche eines Tetraeders kann mit der Formel \( A = \sqrt{3} \cdot a^2 \) berechnet werden, wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Für eine Kantenlänge 9,4 cm lautet die Berech... [mehr]

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Die Oberfläche eines Tetraeders kann mit der Formel \( A = \sqrt{3} \cdot a^2 \) berechnet werden, wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Für eine Kantenlänge 9,4 cm lautet die Berechnung: \[ A = \sqrt{3} \cdot (9,4 \, \text{cm})^2 \] \[ A = \sqrt{3} \cdot 88,36 \, \text{cm}^2 \] \[ A \approx 1,732 \cdot 88,36 \, \text{cm}^2 \] \[ A \approx 153,05 \, \text{cm}^2 \] Die Oberfläche des Tetraeders beträgt also ungefähr 153,05 cm².

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Ja, das ist korrekt. Wenn der Radius eines Kegels um 1 cm verlängert wird und sich das Volumen um π cm³ vergrößert, kann dies mathematisch überprüft werden. Das Volu... [mehr]

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Ja, das ist korrekt. Wenn der Radius eines Kegels um 1 cm verlängert wird und sich das Volumen um π cm³ vergrößert, kann dies mathematisch überprüft werden. Das Volumen \( V \) eines Kegels wird durch die Formel \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 \) berechnet, \( r \) der und \( h \) die Höhe des Kegels ist. Wenn der Radius um 1 cm verlängert wird, ändert sich der Radius von \( r \) zu \( r + 1 \). Das neue Volumen \( V' \) ist dann: \[ V' = \frac{1}{3} \pi (r + 1)^2 h \] Die Volumenzunahme \( \Delta V \) ist: \[ \Delta V = V' - V \] Setzen wir die Volumenformeln ein: \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi (r + 1)^2 h - \frac{1}{3} \pi r^2 h \] \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi h [(r + 1)^2 - r^2] \] \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi h [r^2 + 2r + 1 - r^2] \] \[ \Delta V = \frac{1}{3} \pi h [2r + 1] \] Wenn die Volumenzunahme \( \Delta V \) gleich π cm³ ist, dann: \[ \frac{1}{3} \pi h (2r + 1) = \pi \] Teile beide Seiten durch π: \[ \frac{1}{3} h (2r + 1) = 1 \] Multipliziere beide Seiten mit 3: \[ h (2r + 1) = 3 \] Das ist die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit die Volumenzunahme genau π cm³ beträgt.

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Wenn du den Radius eines Zylinders verdoppelst, ändert sich das Volumen des Zylinders erheblich. Das Volumen \( V \) eines Zylinders wird durch die Formel \( V = \pi r^2 h \) berechnet, wobei \(... [mehr]

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Wenn du den Radius eines Zylinders verdoppelst, ändert sich das Volumen des Zylinders erheblich. Das Volumen \( V \) eines Zylinders wird durch die Formel \( V = \pi r^2 h \) berechnet, wobei \( r \) der Radius und \( h \) die Höhe des Zylinders ist. Wenn der Radius verdoppelt wird, also \( r \) durch \( 2r \) ersetzt wird, lautet die neue Volumenformel: \[ V_{\text{neu}} = \pi (2r)^2 h = \pi \cdot 4r^2 \cdot h = 4 \pi r^2 h \] Das bedeutet, dass das neue Volumen viermal so groß ist wie das ursprüngliche Volumen. Wenn du also den Radius eines Zylinders verdoppelst, vervierfacht sich das Volumen.