Wie groß ist die Oberfläche des Dodekaeders bei einer Kantenlänge von 3,5 cm?

Ein Dodekaeder ist ein platonischer Körper mit 12 regelmäßigen Fünfecken als Flächen. Die Formel zur Berechnung der Oberfläche \(A\) eines Dodekaeders mit der Kantenlänge \(a\) lautet:

\[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot a^2 \]

Setze \(a = 3{,}5 \, \text{cm}\) in die Formel ein:

\[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot (3{,}5)^2 \]

Berechne zuerst \((3{,}5)^2\):

\[ (3{,}5)^2 = 12{,}25 \]

Nun setze dies in die Formel ein:

\[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot 12{,}25 \]

Berechne den Ausdruck unter der Wurzel:

\[ 25 + 10\sqrt{5} \approx 25 + 10 \cdot 2{,}236 = 25 + 22{,}36 = 47{,}36 \]

Nun die Wurzel ziehen:

\[ \sqrt{47{,}36} \approx 6{,}88 \]

Setze dies in die Formel ein:

\[ A = 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 \]

Multipliziere die Werte:

\[ A \approx 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 = 3 \cdot 84{,}28 = 252{,}84 \]

Die Oberfläche des Dodekaeders beträgt also ungefähr \(252{,}84 \, \text{cm}^2\).