2 Fragen zu Dodekaeder

Beim Würfeln mit einem Dodekaeder (12-seitiger Wür) gibt es insgesamt 12 mögliche Ergebnisse, die von 1 bis 12 reichen. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl, wie die 11, zu würfeln, beträgt: \[ P(11) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} = \frac{1}{12} \] Die Wahrscheinlichkeit, eine 11 zu würfeln, ist also \( \frac{1}{12} \) oder etwa 8,33 %.

Ein Dodekaeder ist ein platonischer Körper mit 12 regelmäßigen Fünfecken als Flächen. Die Formel zur Berechnung der Oberfläche \(A\) eines Dodekaeders mit der Kantenlänge \(a\) lautet: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot a^2 \] Setze \(a = 3{,}5 \, \text{cm}\) in die Formel ein: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot (3{,}5)^2 \] Berechne zuerst \((3{,}5)^2\): \[ (3{,}5)^2 = 12{,}25 \] Nun setze dies in die Formel ein: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot 12{,}25 \] Berechne den Ausdruck unter der Wurzel: \[ 25 + 10\sqrt{5} \approx 25 + 10 \cdot 2{,}236 = 25 + 22{,}36 = 47{,}36 \] Nun die Wurzel ziehen: \[ \sqrt{47{,}36} \approx 6{,}88 \] Setze dies in die Formel ein: \[ A = 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 \] Multipliziere die Werte: \[ A \approx 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 = 3 \cdot 84{,}28 = 252{,}84 \] Die Oberfläche des Dodekaeders beträgt also ungefähr \(252{,}84 \, \text{cm}^2\).