8 Fragen zu Fibonacci

Die Fibonacci-Folge ist eine Sequenz von Zahlen, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist. Die Folge beginnt typischerweise mit den Zahlen 0 und 1. Die ersten paar Zahlen der Fibonacci-Folge sind: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Mathematisch kann die Fibonacci-Folge durch die folgende Rekursionsformel beschrieben werden: - F(0) = 0 - F(1) = 1 - F(n) = F(n-1) + F(n-2) für n ≥ 2 Diese einfache Regel führt zu einer unendlichen Folge von Zahlen, die in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften vorkommen.

Die Fibonacci-Reihe ist eine Folge von Zahlen, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist. Sie beginnt typischerweise mit 0 und 1. Die ersten Zahlen der Fibonacci-Reihe sind: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Die allgemeine Formel zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen lautet: F(n) = F(n-1) + F(n-2) mit den Anfangswerten F(0) = 0 und F(1) = 1.

Hier ist ein einfaches Python-Programm, um die Fibonacci-Folge bis zur 78. Zahl zu berechnen: ```python def fibonacci(n): fib_sequence = [0, 1] for i in range(2, n): next_fib = fib_sequence[i-1 + fib_sequence[i2] fib.append(next_fib return fib_sequence# Berechnung der Fibonacci-Folge bis zur 78. Zahl fib_78 = fibonacci(78) print(fib_78) ``` Dieses Programm definiert eine Funktion `fibonacci`, die eine Liste der Fibonacci-Zahlen bis zur n-ten Zahl erstellt und sie dann ausgibt.

Um die fehlenden Zahlen in der Fibonacci-Folge zu finden, schauen wir uns die Struktur der Fibonacci-Zahlen an. In der Fibonacci-Folge ist jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen. Die gegebene Folge ist: _, 15, _, _, 69. Wir wissen, dass die Zahl vor 15 (nennen wir sie x) und die Zahl nach 15 (nennen wir sie y) die folgenden Beziehungen haben müssen: 1. x + 15 = y 2. 15 + y = 69 Um die zweite Gleichung zu lösen, stellen wir sie um: y = 69 - 15 y = 54 Jetzt setzen wir y in die erste Gleichung ein: x + 15 = 54 x = 54 - 15 x = 39 Nun haben wir die Zahlen: - Die erste fehlende Zahl (x) ist 39. - Die zweite fehlende Zahl (y) ist 54. Die vollständige Folge lautet also: 39, 15, 54, _, 69. Um die letzte fehlende Zahl zu finden, können wir die Beziehung zwischen 54 und der nächsten Zahl (nennen wir sie z) verwenden: 54 + z = 69 z = 69 - 54 z = 15 Die vollständige Folge ist somit: 39, 15, 54, 69. Die fehlenden Zahlen sind also 39 und 54.

Um die fehlenden Zahlen in der Fibonacci-Folge zu finden, schauen wir uns die Struktur der Fibonacci-Zahlen an, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist. Die gegebene Folge ist: _, 15, _, _, 69. Lass uns die bekannten Zahlen in die Fibonacci-Regeln einfügen: 1. Die Zahl vor 15 (nennen wir sie \( x_1 \)) muss mit 15 addiert werden, um die nächste Zahl zu ergeben. 2. Die Zahl nach 15 (nennen wir sie \( x_2 \)) muss mit 15 addiert werden, um die nächste Zahl zu ergeben. 3. Die Zahl nach \( x_2 \) (nennen wir sie \( x_3 \)) muss mit \( x_2 \) addiert werden, um 69 zu ergeben. Wir wissen, dass: - \( x_1 + 15 = x_2 \) - \( 15 + x_2 = x_3 \) - \( x_2 + x_3 = 69 \) Um die Berechnungen durchzuführen, setzen wir \( x_2 = 15 + x_1 \) in die Gleichungen ein: 1. \( x_3 = 15 + (15 + x_1) = 30 + x_1 \) 2. \( (15 + x_1) + (30 + x_1) = 69 \) Das vereinfacht sich zu: \( 15 + 30 + 2x_1 = 69 \) \( 45 + 2x_1 = 69 \) \( 2x_1 = 24 \) \( x_1 = 12 \) Jetzt können wir \( x_1 \) verwenden, um die anderen Werte zu finden: - \( x_2 = 15 + 12 = 27 \) - \( x_3 = 30 + 12 = 42 \) Die fehlenden Zahlen sind also 12, 27 und 42.

Die gegebene Zahlenreihe ist die Fibonacci-Folge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist. 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Die nächste Zahl in der Reihe ist 8 + 5 = 13. Die fortgesetzte Zahlenreihe lautet also: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Um die Beziehung \( L_n = 2F_{n-1} + F_n \) für \( n > 1 \) zwischen den Lucas-Zahlen \( L_n \) und den-Zahlen \( F \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen, gehen wir wie folgt vor: **Induktionsanfang:** Für \( n = 2 \): - Die Lucas-Zahlen sind definiert als: - \( L_0 = 2 \) - \( L_1 = 1 \) - \( L_2 = 3 \) - Die Fibonacci-Zahlen sind definiert als: - \( F_0 = 0 \) - \( F_1 = 1 \) - \( F_2 = 1 \) Setzen wir \( n = 2 \) in die Beziehung ein: \[ L_2 = 2F_{2-1} + F_2 \] Das ergibt: \[ 3 = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \] Der Induktionsanfang ist also wahr. **Induktionsvoraussetzung:** Angenommen, die Beziehung gilt für \( n = k \) und \( n = k-1 \), d.h.: \[ L_k = 2F_{k-1} + F_k \] \[ L_{k-1} = 2F_{k-2} + F_{k-1} \] **Induktionsschritt:** Wir müssen zeigen, dass die Beziehung auch für \( n = k + 1 \) gilt, also: \[ L_{k+1} = 2F_k + F_{k+1} \] Wir verwenden die Rekursionsformeln für Lucas- und Fibonacci-Zahlen: - Lucas-Zahlen: \( L_{n} = L_{n-1} + L_{n-2} \) - Fibonacci-Zahlen: \( F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} \) Setzen wir die Induktionsvoraussetzungen in die Rekursion für \( L_{k+1} \) ein: \[ L_{k+1} = L_k + L_{k-1} \] Setzen wir die Induktionsvoraussetzungen ein: \[ L_{k+1} = (2F_{k-1} + F_k) + (2F_{k-2} + F_{k-1}) \] Das vereinfacht sich zu: \[ L_{k+1} = 2F_{k-1} + F_k + 2F_{k-2} + F_{k-1} \] \[ = 2F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k + F_{k-1} \] \[ = (2F_{k-1} + F_{k-1}) + F_k + 2F_{k-2} \] \[ = 3F_{k-1} + F_k + 2F_{k-2} \] Nun verwenden wir die Fibonacci-Rekursion: \[ F_k = F_{k-1} + F_{k-2} \] Setzen wir dies ein: \[ L_{k+1} = 3F_{k-1} + (F_{k-1} + F_{k-2}) + 2F_{k-2} \] \[ = 3F_{k-1} + F_{k-1} + 3F_{k-2} \] \[ = 4F_{k-1} + 3F_{k-2} \] Jetzt müssen wir zeigen, dass dies gleich \( 2F_k + F_{k+1} \) ist: \[ 2F_k + F_{k+1} = 2(F_{k-1} + F_{k-2}) + (F_k + F_{k-1}) = 2F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k + F_{k-1} \] Das zeigt, dass die Beziehung auch für \( n = k + 1 \) gilt. **Schlussfolgerung:** Da der Induktionsanfang wahr ist und der Induktionsschritt gezeigt wurde, gilt die Beziehung \( L_n = 2F_{n-1} + F_n \) für alle \( n > 1 \).

Um die Beziehung \( L_n = 2F_{n-1} + F_n \) für \( n > 1 \) zwischen den Lucas-Zahlen \( L_n \) und den Fibonacci-Zahlen \( F_n \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen, gehen wir wie folgt vor: **Induktionsanfang:** Für \( n = 2 \): - Die Fibonacci-Zahlen sind \( F_1 = 1 \), \( F_2 = 1 \), \( F_3 = 2 \). - Die Lucas-Zahlen sind \( L_1 = 2 \), \( L_2 = 1 \), \( L_3 = 3 \). Setzen wir \( n = 2 \) in die Beziehung ein: \[ L_2 = 2F_{2-1} + F_2 \implies L_2 = 2F_1 + F_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3. \] Da \( L_2 = 1 \) und nicht 3, müssen wir den Induktionsanfang für \( n = 3 \) überprüfen. Für \( n = 3 \): \[ L_3 = 3, \quad F_2 = 1, \quad F_3 = 2. \] Setzen wir \( n = 3 \) in die Beziehung ein: \[ L_3 = 2F_{3-1} + F_3 \implies L_3 = 2F_2 + F_3 = 2 \cdot 1 + 2 = 4. \] Das ist ebenfalls nicht korrekt. Wir setzen den Induktionsanfang für \( n = 4 \) fort. Für \( n = 4 \): \[ L_4 = 7, \quad F_3 = 2, \quad F_4 = 3. \] Setzen wir \( n = 4 \) in die Beziehung ein: \[ L_4 = 2F_{4-1} + F_4 \implies L_4 = 2F_3 + F_4 = 2 \cdot 2 + 3 = 7. \] Der Induktionsanfang ist also für \( n = 4 \) korrekt. **Induktionsannahme:** Angenommen, die Beziehung gilt für \( n = k \) und \( n = k-1 \): \[ L_k = 2F_{k-1} + F_k, \] \[ L_{k-1} = 2F_{k-2} + F_{k-1}. \] **Induktionsschritt:** Wir müssen zeigen, dass die Beziehung auch für \( n = k + 1 \) gilt: \[ L_{k+1} = 2F_k + F_{k+1}. \] Wir verwenden die Rekursionsformeln für Lucas- und Fibonacci-Zahlen: \[ L_{k+1} = L_k + L_{k-1}, \] \[ F_{k+1} = F_k + F_{k-1}. \] Setzen wir die Induktionsannahmen ein: \[ L_{k+1} = (2F_{k-1} + F_k) + (2F_{k-2} + F_{k-1}). \] Das vereinfacht sich zu: \[ L_{k+1} = 2F_{k-1} + F_k + 2F_{k-2} + F_{k-1} = 2F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k + F_{k-1}. \] Nun fassen wir die Terme zusammen: \[ L_{k+1} = (2F_{k-1} + F_{k-1}) + 2F_{k-2} + F_k = 3F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k. \] Da \( F_k = F_{k-1} + F_{k-2} \), können wir \( F_k \) ersetzen: \[ L_{k+1} = 3F_{k-1} + 2F_{k-2} + (F_{k-1} + F_{k-2}) = 4F_{k-1} + 3F_{k-2}. \] Das entspricht der Definition der Fibonacci-Zahlen, und wir können zeigen, dass dies die Beziehung \( L_{k+1} = 2F_k + F_{k+1} \) erfüllt. Som