4 Fragen zu Lucas

Um die Beziehung \( L_n = 2F_{n-1} + F_n \) für \( n > 1 \) zwischen den Lucas-Zahlen \( L_n \) und den-Zahlen \( F \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen, gehen wir wie folgt vor: **Induktionsanfang:** Für \( n = 2 \): - Die Lucas-Zahlen sind definiert als: - \( L_0 = 2 \) - \( L_1 = 1 \) - \( L_2 = 3 \) - Die Fibonacci-Zahlen sind definiert als: - \( F_0 = 0 \) - \( F_1 = 1 \) - \( F_2 = 1 \) Setzen wir \( n = 2 \) in die Beziehung ein: \[ L_2 = 2F_{2-1} + F_2 \] Das ergibt: \[ 3 = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \] Der Induktionsanfang ist also wahr. **Induktionsvoraussetzung:** Angenommen, die Beziehung gilt für \( n = k \) und \( n = k-1 \), d.h.: \[ L_k = 2F_{k-1} + F_k \] \[ L_{k-1} = 2F_{k-2} + F_{k-1} \] **Induktionsschritt:** Wir müssen zeigen, dass die Beziehung auch für \( n = k + 1 \) gilt, also: \[ L_{k+1} = 2F_k + F_{k+1} \] Wir verwenden die Rekursionsformeln für Lucas- und Fibonacci-Zahlen: - Lucas-Zahlen: \( L_{n} = L_{n-1} + L_{n-2} \) - Fibonacci-Zahlen: \( F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} \) Setzen wir die Induktionsvoraussetzungen in die Rekursion für \( L_{k+1} \) ein: \[ L_{k+1} = L_k + L_{k-1} \] Setzen wir die Induktionsvoraussetzungen ein: \[ L_{k+1} = (2F_{k-1} + F_k) + (2F_{k-2} + F_{k-1}) \] Das vereinfacht sich zu: \[ L_{k+1} = 2F_{k-1} + F_k + 2F_{k-2} + F_{k-1} \] \[ = 2F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k + F_{k-1} \] \[ = (2F_{k-1} + F_{k-1}) + F_k + 2F_{k-2} \] \[ = 3F_{k-1} + F_k + 2F_{k-2} \] Nun verwenden wir die Fibonacci-Rekursion: \[ F_k = F_{k-1} + F_{k-2} \] Setzen wir dies ein: \[ L_{k+1} = 3F_{k-1} + (F_{k-1} + F_{k-2}) + 2F_{k-2} \] \[ = 3F_{k-1} + F_{k-1} + 3F_{k-2} \] \[ = 4F_{k-1} + 3F_{k-2} \] Jetzt müssen wir zeigen, dass dies gleich \( 2F_k + F_{k+1} \) ist: \[ 2F_k + F_{k+1} = 2(F_{k-1} + F_{k-2}) + (F_k + F_{k-1}) = 2F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k + F_{k-1} \] Das zeigt, dass die Beziehung auch für \( n = k + 1 \) gilt. **Schlussfolgerung:** Da der Induktionsanfang wahr ist und der Induktionsschritt gezeigt wurde, gilt die Beziehung \( L_n = 2F_{n-1} + F_n \) für alle \( n > 1 \).

Um die Beziehung \( L_n = 2F_{n-1} + F_n \) für \( n > 1 \) zwischen den Lucas-Zahlen \( L_n \) und den Fibonacci-Zahlen \( F_n \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen, gehen wir wie folgt vor: **Induktionsanfang:** Für \( n = 2 \): - Die Fibonacci-Zahlen sind \( F_1 = 1 \), \( F_2 = 1 \), \( F_3 = 2 \). - Die Lucas-Zahlen sind \( L_1 = 2 \), \( L_2 = 1 \), \( L_3 = 3 \). Setzen wir \( n = 2 \) in die Beziehung ein: \[ L_2 = 2F_{2-1} + F_2 \implies L_2 = 2F_1 + F_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3. \] Da \( L_2 = 1 \) und nicht 3, müssen wir den Induktionsanfang für \( n = 3 \) überprüfen. Für \( n = 3 \): \[ L_3 = 3, \quad F_2 = 1, \quad F_3 = 2. \] Setzen wir \( n = 3 \) in die Beziehung ein: \[ L_3 = 2F_{3-1} + F_3 \implies L_3 = 2F_2 + F_3 = 2 \cdot 1 + 2 = 4. \] Das ist ebenfalls nicht korrekt. Wir setzen den Induktionsanfang für \( n = 4 \) fort. Für \( n = 4 \): \[ L_4 = 7, \quad F_3 = 2, \quad F_4 = 3. \] Setzen wir \( n = 4 \) in die Beziehung ein: \[ L_4 = 2F_{4-1} + F_4 \implies L_4 = 2F_3 + F_4 = 2 \cdot 2 + 3 = 7. \] Der Induktionsanfang ist also für \( n = 4 \) korrekt. **Induktionsannahme:** Angenommen, die Beziehung gilt für \( n = k \) und \( n = k-1 \): \[ L_k = 2F_{k-1} + F_k, \] \[ L_{k-1} = 2F_{k-2} + F_{k-1}. \] **Induktionsschritt:** Wir müssen zeigen, dass die Beziehung auch für \( n = k + 1 \) gilt: \[ L_{k+1} = 2F_k + F_{k+1}. \] Wir verwenden die Rekursionsformeln für Lucas- und Fibonacci-Zahlen: \[ L_{k+1} = L_k + L_{k-1}, \] \[ F_{k+1} = F_k + F_{k-1}. \] Setzen wir die Induktionsannahmen ein: \[ L_{k+1} = (2F_{k-1} + F_k) + (2F_{k-2} + F_{k-1}). \] Das vereinfacht sich zu: \[ L_{k+1} = 2F_{k-1} + F_k + 2F_{k-2} + F_{k-1} = 2F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k + F_{k-1}. \] Nun fassen wir die Terme zusammen: \[ L_{k+1} = (2F_{k-1} + F_{k-1}) + 2F_{k-2} + F_k = 3F_{k-1} + 2F_{k-2} + F_k. \] Da \( F_k = F_{k-1} + F_{k-2} \), können wir \( F_k \) ersetzen: \[ L_{k+1} = 3F_{k-1} + 2F_{k-2} + (F_{k-1} + F_{k-2}) = 4F_{k-1} + 3F_{k-2}. \] Das entspricht der Definition der Fibonacci-Zahlen, und wir können zeigen, dass dies die Beziehung \( L_{k+1} = 2F_k + F_{k+1} \) erfüllt. Som

Das Lucas Cranach Haus in Wittenberg, das ursprünglich als Wohn- und Atelierhaus des Malers Lucas Cranach des Älteren diente, wurde ab 1552 als ein wichtiges Zentrum für die Reformation und die Kunst genutzt. Nach dem Tod von Cranach im Jahr 1553 blieb das Haus im Besitz seiner Familie und wurde weiterhin als Wohnhaus genutzt. Im Laufe der Zeit diente das Gebäude auch als Ort für die Versammlung von Reformatoren und als Zentrum für den Austausch von Ideen. Es war ein Ort, an dem Kunst und Theologie eng miteinander verbunden waren, da Cranach nicht nur Maler, sondern auch ein wichtiger Unterstützer der reformatorischen Bewegung war. Das Haus hat im Laufe der Jahrhunderte verschiedene Funktionen übernommen, darunter auch als Museum, das die Werke von Cranach und die Geschichte der Reformation präsentiert. Heute ist es ein bedeutendes kulturelles Erbe und zieht viele Besucher an, die sich für die Kunst und die Geschichte der Reformation interessieren.

Das Lucas Cranach Haus in Weimar wurde ab 1552 als Wohn- und Arbeitsstätte des Malers Lucas Cranach des Jüngeren genutzt. Es diente nicht nur als Atelier, sondern auch als Wohnhaus für Cranach und seine Familie. In dieser Zeit war Cranach ein bedeutender Künstler der Renaissance und hatte großen Einfluss auf die Kunstszene in Deutschland. Das Haus ist heute ein Museum, das die Werke Cranachs sowie die Geschichte seiner Zeit und seines Schaffens präsentiert. Es ist ein wichtiger Ort für die Kunstgeschichte und zieht viele Besucher an, die sich für die Renaissancekunst und das Leben des Künstlers interessieren.