Was ist Gaus'sche Fehlerfortpflanzung?

Die gaußsche Fehlerfortpflanzung ist Verfahren zur Abschätzung der Unsicherheit in einem Ergebnis, das aus mehreren Messungen oder Variablen berechnet wird. Sie basiert auf der Annahme, dass die Fehler in den Messungen zufällig und normalverteilt sind, also einer Gaußteilung folgen.

Bei gaußschenfortpflanzung wird die Unsicherheit eines Ergebnisses (z. B. einer Funktion von mehreren Variablen) durch die Unsicherheiten der einzelnen Variablen und deren Einfluss auf das Ergebnis bestimmt. Dies geschieht in der Regel durch die Anwendung der Taylor-Reihe, wobei die Ableitungen der Funktion in Bezug auf die Variablen verwendet werden, um die Unsicherheit zu berechnen.

Die allgemeine Formel zur Berechnung der Unsicherheit \( u(f) \) eines Ergebnisses \( f \), das von den Variablen \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) abhängt, lautet:

\[
u(f) = \sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x_1} u(x_1) \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial x_2} u(x_2) \right)^2 + \ldots + \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} u(x_n) \right)^2}
\]

Hierbei ist \( u(x_i) \) die Unsicherheit der Variablen \( x_i \) und \( \frac{\partial f}{\partial x_i} \) die partielle Ableitung von \( f \) nach \( x_i \). Diese Methode ist besonders nützlich in den Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften, wo präzise Messungen und deren Unsicherheiten eine wichtige Rolle spielen.