Wie berechne ich den Stückgewinn g und den Gesamtgewinn G bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge, wenn G(x)=-x^3+15x^2-17x-25 ist?

Um den Stückgewinn \( g \) und den Gesamtgewinn \( G \) bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge zu bestimmen, müssen wir zunächst die Gewinnfunktion \( G(x) = -x^3 + 15x^2 - 17x - 25 \) analysieren.

1. **Bestimmung der gewinnmaximalen Produktionsmenge**:
Der Gewinn ist maximal, wenn die erste Ableitung der Gewinnfunktion gleich null ist. Zuerst berechnen wir die erste Ableitung \( G'(x) \):

\[
G'(x) = -3x^2 + 30x - 17
\]

Um die kritischen Punkte zu finden, setzen wir die Ableitung gleich null:

\[
-3x^2 + 30x - 17 = 0
\]

Diese Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gelöst werden, aber wir können auch die Diskriminante \( D \) berechnen, um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen:

\[
D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-17) = 900 - 204 = 696
\]

Da \( D > 0 \), gibt es zwei Lösungen. Wir können die Lösungen mit der Mitternachtsformel finden, aber hier konzentrieren wir uns auf die gewinnmaximale Menge. Wir können die Werte für \( x \) berechnen, um die gewinnmaximale Menge zu finden.

2. **Berechnung des Stückgewinns \( g \)**:
Der Stückgewinn \( g \) ist die Ableitung der Gewinnfunktion:

\[
g(x) = G'(x) = -3x^2 + 30x - 17
\]

Setze die gewinnmaximale Produktionsmenge \( x \) in \( g(x) \) ein, um den Stückgewinn zu berechnen.

3. **Berechnung des Gesamtgewinns \( G \)**:
Setze die gewinnmaximale Produktionsmenge \( x \) in die Gewinnfunktion \( G(x) \) ein, um den Gesamtgewinn zu berechnen.

Zusammenfassend: Um den Stückgewinn und den Gesamtgewinn bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge zu bestimmen, musst du die kritischen Punkte der Ableitung finden und dann die entsprechenden Werte in die Gewinnfunktion und deren Ableitung einsetzen.