Beim 100-maligen Würfeln werden sechs Sechser geworfen. Jemand zweifelt daran, dass der Würfel fair ist. Ist dies begründet?

Question

Beim 100-maligen Würfeln werden sechs Sechser geworfen. Jemand zweifelt daran, dass der Würfel fair ist. Ist dies begründet?

Antwort

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Lisa würfelt fünfmal und hält die Augenzahlen 2, 3, 4 und 6. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf eine Eins zu erhalten?

Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln eine durch 5 oder 3 teilbare Zahl erscheint.

Ist es möglich, dass ich nach 100 Mal würfeln keine einzige 6 habe?

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Berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass eine unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du.

Accepted Answer

Die Aussage, dass der Würfel möglicherweise nicht fair ist, basiert auf der Beobachtung, dass bei 100 Würfen nur sechs Sechser geworfen wurden. Um diese Aussage zu beurteilen, kann man die erwartete Anzahl an Sechsern bei einem fairen Würfel berechnen und dann prüfen, ob die beobachtete Anzahl signifikant davon abweicht. Bei einem fairen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen, 1/6. Bei 100 Würfen wäre die erwartete Anzahl an Sechsern: \[ \text{Erwartete Anzahl} = 100 \times \frac{1}{6} \approx 16,67 \] Die beobachtete Anzahl von sechs Sechsern liegt deutlich unter diesem Erwartungswert. Um zu beurteilen, ob diese Abweichung signifikant ist, kann man die Standardabweichung der Binomialverteilung verwenden: \[ \sigma = \sqrt{n \times p \times (1 - p)} \] \[ \sigma = \sqrt{100 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}} \approx 3,85 \] Nun kann man die Anzahl der Standardabweichungen berechnen, um die die beobachtete Anzahl von der erwarteten Anzahl abweicht: \[ z = \frac{|\text{Beobachtete Anzahl} - \text{Erwartete Anzahl}|}{\sigma} \] \[ z = \frac{|6 - 16,67|}{3,85} \approx 2,77 \] Ein z-Wert von 2,77 bedeutet, dass die beobachtete Anzahl von sechs Sechsern etwa 2,77 Standardabweichungen unter dem Erwartungswert liegt. In der Statistik gilt eine Abweichung von mehr als 2 Standardabweichungen oft als signifikant. Daher könnte die Aussage, dass der Würfel möglicherweise nicht fair ist, gerechtfertigt sein. Es wäre jedoch ratsam, weitere Tests durchzuführen, um eine endgültige Schlussfolgerung zu ziehen.

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Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, bleibt unabhängig von den vorherigen Würfen konstant. Bei einem fairen Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6... [mehr]

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Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, bleibt unabhängig von den vorherigen Würfen konstant. Bei einem fairen Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6). Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, beträgt daher: \[ P(1) = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \text{ oder } 16,67\% \] Die vorherigen Würfe beeinflussen diese Wahrscheinlichkeit nicht.

Accepted Answer

Beim Würfeln mit einem fairen sechsseitigen Würfel gibt es die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Um die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse zu bestimmen, die durch 5 oder durch 3 teilbar... [mehr]

Accepted Answer

Beim Würfeln mit einem fairen sechsseitigen Würfel gibt es die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Um die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse zu bestimmen, die durch 5 oder durch 3 teilbar sind, schauen wir uns die relevanten Zahlen an: - **Durch 5 teilbare Zahl:** Die einzige Zahl ist 5. - **Durch 3 teilbare Zahl:** Die Zahlen sind 3 und 6. Jetzt zählen wir die Zahlen, die entweder durch 5 oder durch 3 teilbar sind: - 3 - 5 - 6 Das sind insgesamt 3 Zahlen. Da es insgesamt 6 mögliche Ergebnisse beim Würfeln gibt, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt: \[ P(\text{durch 5 oder 3 teilbar}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln eine durch 5 oder durch 3 teilbare Zahl erscheint, beträgt also \( \frac{1}{2} \) oder 50%.

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Ja, es ist möglich, dass nach 100 Würfen mit einem fairen sechsseitigen Würfel keine einzige 6 geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür lässt sich berechnen. Die Wahrschei... [mehr]

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Ja, es ist möglich, dass nach 100 Würfen mit einem fairen sechsseitigen Würfel keine einzige 6 geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür lässt sich berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf keine 6 zu würfeln, beträgt \(\frac{5}{6}\). Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass in 100 Würfen keine einzige 6 geworfen wird, wird diese Wahrscheinlichkeit 100-mal multipliziert: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{100} \] Diese Berechnung ergibt etwa 0,0016 oder 0,16%. Das bedeutet, dass es eine sehr geringe, aber dennoch vorhandene Wahrscheinlichkeit gibt, dass in 100 Würfen keine einzige 6 geworfen wird.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, bei 10 Ziehungen aus einem Kartensatz mit 32 Karten **ohne Zurücklegen** genau **3 bestimmte Karten** (z.B. Ass, König und Dame einer bestimmten Farbe... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, bei 10 Ziehungen aus einem Kartensatz mit 32 Karten **ohne Zurücklegen** genau **3 bestimmte Karten** (z.B. Ass, König und Dame einer bestimmten Farbe) zu ziehen, gehen wir wie folgt vor: **Gegeben:** - 32 Karten - 10 Ziehungen ohne Zurücklegen - 3 bestimmte Karten (z.B. A, K, D einer Farbe) - Die 3 bestimmten Karten sollen **irgendwann** unter den 10 gezogenen Karten sein (Reihenfolge egal) - Die restlichen 7 gezogenen Karten sind beliebige andere Karten ### Schritt 1: Anzahl der günstigen Kombinationen Wir wollen, dass **alle 3 bestimmten Karten** unter den 10 gezogenen sind. Die restlichen 7 Karten werden aus den verbleibenden 29 Karten (32 - 3) gewählt. Die Anzahl der Möglichkeiten, 7 Karten aus 29 zu wählen: \[ \text{günstige Kombinationen} = \binom{29}{7} \] ### Schritt 2: Anzahl aller möglichen Kombinationen Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 10 Karten aus 32 zu ziehen: \[ \text{alle Kombinationen} = \binom{32}{10} \] ### Schritt 3: Wahrscheinlichkeit berechnen Die Wahrscheinlichkeit ist dann: \[ P = \frac{\binom{29}{7}}{\binom{32}{10}} \] ### Schritt 4: Werte berechnen \[ \binom{29}{7} = \frac{29!}{7! \cdot 22!} = 1.560.780 \] \[ \binom{32}{10} = \frac{32!}{10! \cdot 22!} = 645.122.40 \] \[ P = \frac{1.560.780}{64.512.240} \approx 0,0242 \] ### **Antwort** Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Ziehungen aus 32 Karten ohne Zurücklegen **alle 3 bestimmten Karten** zu ziehen, beträgt etwa **2,42 %**. --- **Hinweis:** Falls du wissen wolltest, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, **mindestens** eine, **genau** eine oder **genau zwei** dieser Karten zu ziehen, wäre die Rechnung anders. Die obige Antwort bezieht sich auf das Ziehen **aller 3 bestimmten Karten** unter den 10 gezogenen.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, bei 32 Spielkarten in 5 Ziehungen **ohne Zurücklegen** genau **3 bestimmte Karten** (z.B. Ass, König, Dame) zu ziehen, gehen wir wie folgt vor: **1. Gesamtzahl der möglichen 5er-Kombinationen aus 32 Karten:** \[ \text{Gesamtzahl} = \binom{32}{5} \] **2. Günstige Fälle:** Wir wollen, dass **genau diese 3 bestimmten Karten** (nennen wir sie A, B, C) unter den 5 gezogenen sind. Die restlichen 2 Karten müssen aus den verbleibenden 29 Karten (32 - 3) gewählt werden. \[ \text{Günstige Fälle} = \binom{29}{2} \] **3. Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{Gesamtzahl}} = \frac{\binom{29}{2}}{\binom{32}{5}} \] **4. Ausrechnen:** - \(\binom{29}{2} = \frac{29 \times 28}{2} = 406\) - \(\binom{32}{5} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 201376\) \[ P = \frac{406}{201376} \approx 0,002016 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, bei 32 Spielkarten in 5 Ziehungen ohne Zurücklegen genau 3 bestimmte Karten zu ziehen, beträgt etwa **0,20 %** (genauer: 0,2016 %).

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Angenommen, alle \( n \) Teilnehmer haben die gleiche Gewinnchance und es gibt keine Unentschieden, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Teilnehmer (z. B. X) genau den zweiten Platz be... [mehr]

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Angenommen, alle \( n \) Teilnehmer haben die gleiche Gewinnchance und es gibt keine Unentschieden, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Teilnehmer (z. B. X) genau den zweiten Platz belegt, wie folgt zu berechnen: 1. **Ein Teilnehmer (X) soll Zweiter werden:** Dafür muss ein anderer Teilnehmer Erster werden (es gibt \( n-1 \) Möglichkeiten), X wird Zweiter, und die restlichen \( n-2 \) Teilnehmer können die restlichen Plätze beliebig belegen. 2. **Gesamtzahl aller möglichen Platzierungen:** Es gibt \( n! \) mögliche Reihenfolgen (Permutationen) der \( n \) Teilnehmer. 3. **Günstige Fälle:** - Wähle einen der \( n-1 \) anderen Teilnehmer als Ersten. - X ist Zweiter. - Die restlichen \( n-2 \) Plätze können beliebig mit den verbleibenden Teilnehmern besetzt werden (\((n-2)!\) Möglichkeiten). Also: \( (n-1) \times (n-2)! \) günstige Fälle. 4. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P(\text{X wird Zweiter}) = \frac{(n-1) \times (n-2)!}{n!} \] Da \( n! = n \times (n-1) \times (n-2)! \), kürzt sich das zu: \[ P(\text{X wird Zweiter}) = \frac{1}{n} \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass Teilnehmer X Zweiter wird, beträgt \(\boxed{\frac{1}{n}}\), wenn alle Teilnehmer die gleiche Chance haben.

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Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Person in einer Stadt mit 19.000 Einwohnern zu treffen, beträgt 1 zu 19.000 oder etwa 0,0053 % (1 geteilt durch 19.000 multipliziert mit 100). Das bedeutet,... [mehr]

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Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Person in einer Stadt mit 19.000 Einwohnern zu treffen, beträgt 1 zu 19.000 oder etwa 0,0053 % (1 geteilt durch 19.000 multipliziert mit 100). Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, diese spezifische Person zufällig zu treffen.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Augenzahl des weißen Würfels um eins größer ist als die des schwarzen Würfels, betrachten wir die möglichen Ergebnisse.... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Augenzahl des weißen Würfels um eins größer ist als die des schwarzen Würfels, betrachten wir die möglichen Ergebnisse. Die Augenzahlen der Würfel reichen von 1 bis 6. Wenn wir die Augenzahl des schwarzen Würfels als \( x \) und die des weißen Würfels als \( y \) bezeichnen, suchen wir die Fälle, in denen \( y = x + 1 \). Die möglichen Kombinationen sind: - Wenn der schwarze Würfel 1 zeigt, kann der weiße Würfel 2 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 2 zeigt, kann der weiße Würfel 3 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 3 zeigt, kann der weiße Würfel 4 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 4 zeigt, kann der weiße Würfel 5 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 5 zeigt, kann der weiße Würfel 6 zeigen. Das bedeutet, dass es 5 günstige Kombinationen gibt: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6). Die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen beim Werfen von zwei Würfeln ist \( 6 \times 6 = 36 \). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl des weißen Würfels um eins größer ist als die des schwarzen Würfels, beträgt also: \[ P = \frac{5}{36} \] Das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, kann man die folgende Überlegung anstellen: 1. **Anzahl der m&ou... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, kann man die folgende Überlegung anstellen: 1. **Anzahl der möglichen Ergebnisse**: Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \(6^5\) mögliche Kombinationen, wenn 5 Würfel geworfen werden. 2. **Anzahl der günstigen Ergebnisse**: Um 5 unterschiedliche Augenzahlen zu erhalten, kann der erste Würfel jede der 6 Zahlen zeigen. Der zweite Würfel kann dann nur noch 5 verschiedene Zahlen zeigen (da er sich von der ersten unterscheiden muss), der dritte Würfel 4, der vierte 3 und der fünfte 2. Das ergibt: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] 3. **Wahrscheinlichkeit**: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, ist dann das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zu den möglichen Ergebnissen: \[ P = \frac{720}{6^5} = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \approx 0,0926 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Augenzahlen unterschiedlich sind, beträgt also etwa 9,26 %.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du, gehen wir von der Annahme aus, dass es 365 Tage im Jahr gibt (ohne Schaltjahre). 1. **W... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du, gehen wir von der Annahme aus, dass es 365 Tage im Jahr gibt (ohne Schaltjahre). 1. **Wahrscheinlichkeit, dass die Person an deinem Geburtstag Geburtstag hat**: Es gibt 1 Tag, an dem die Person Geburtstag haben könnte, der mit deinem Geburtstag übereinstimmt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also \( \frac{1}{365} \). 2. **Wahrscheinlichkeit, dass die Person an einem anderen Tag Geburtstag hat**: Da es 364 Tage gibt, an denen die Person nicht Geburtstag hat, ist die Wahrscheinlichkeit dafür \( \frac{364}{365} \). Zusammengefasst: Die Wahrscheinlichkeit, dass die unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du, beträgt \( \frac{364}{365} \) oder etwa 99,73 %.