Wie groß muss ein Packkarton mit kleinster Oberfläche für 56 Kassetten (18,9 x 10,5 x 2,5 cm) sein?

Question

Wie groß muss ein Packkarton mit kleinster Oberfläche für 56 Kassetten (18,9 x 10,5 x 2,5 cm) sein?

Antwort

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Wie breit muss ein Karton für 83 Kassetten sein?

Wie breit müsste der Karton für 100 Kassetten sein?

Accepted Answer

Um die Größe des Packkartons mit der kleinsten Oberfläche zu bestimmen, müssen wir zunächst das Volumen der Kassetten berechnen und dann die Dimensionen des Kartons so wählen, die Oberfläche minimiert wird. 1 **Volumen einer Kassette** \[ V_{\text{Kassette}} = 18,9 \, \text{cm} \times 10,5 \, \text{cm} \times 2,5 \, \text{cm} = 497,625 \, \text{cm}^3 \] 2. **Gesamtvolumen für 56 Kassetten**: \[ V_{\text{gesamt}} = 56 \times 497,625 \, \text{cm}^3 = 27866,5 \, \text{cm}^3 \] 3. **Dimensionen des Kartons**: Angenommen, der Karton hat die Dimensionen \(x\), \(y\) und \(z\). Das Volumen des Kartons ist dann: \[ V = x \cdot y \cdot z = 27866,5 \, \text{cm}^3 \] 4. **Oberfläche des Kartons**: Die Oberfläche \(A\) des Kartons ist gegeben durch: \[ A = 2(xy + xz + yz) \] Um die Oberfläche zu minimieren, können wir die Dimensionen so wählen, dass sie in einem optimalen Verhältnis zueinander stehen. Eine Möglichkeit ist, die Kassetten in einer Anordnung zu stapeln. Eine sinnvolle Anordnung könnte sein, die Kassetten in Schichten zu packen. 5. **Anordnung der Kassetten**: Eine mögliche Anordnung könnte sein, die Kassetten in 4 Schichten mit 14 Kassetten pro Schicht zu packen. Dann wäre die Dimension des Kartons: - Höhe: \(2,5 \, \text{cm} \times 4 = 10 \, \text{cm}\) - Breite: \(10,5 \, \text{cm} \times 14 = 147 \, \text{cm}\) - Tiefe: \(18,9 \, \text{cm}\) 6. **Berechnung der Oberfläche**: \[ A = 2(10 \cdot 147 + 10 \cdot 18,9 + 147 \cdot 18,9) \] Die genauen Werte können dann berechnet werden, um die optimale Anordnung zu finden. Es ist jedoch wichtig, verschiedene Anordnungen zu testen, um die kleinste Oberfläche zu ermitteln. Zusammenfassend ist die Dimensionierung des Kartons entscheidend für die Minimierung der Oberfläche, und es kann hilfreich sein, verschiedene Kombinationen auszuprobieren, um die beste Lösung zu finden.

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Um die benötigte Breite des Kartons zu berechnen, müssen wir zunächst das Volumen der Kassetten und die Anordnung im Karton berücksichtigen. Die Maße einer Kassette sind: -... [mehr]

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Um die benötigte Breite des Kartons zu berechnen, müssen wir zunächst das Volumen der Kassetten und die Anordnung im Karton berücksichtigen. Die Maße einer Kassette sind: - Länge: 21,5 cm - Breite: 13,0 cm - Höhe: 4,0 cm Die Maße des Kartons sind: - Länge: 68,0 cm - Höhe: 48,0 cm Zuerst berechnen wir das Gesamtvolumen der 83 Kassetten: 1. **Volumen einer Kassette**: \[ V_{\text{Kassette}} = 21,5 \, \text{cm} \times 13,0 \, \text{cm} \times 4,0 \, \text{cm} = 1117 \, \text{cm}^3 \] 2. **Gesamtvolumen der 83 Kassetten**: \[ V_{\text{gesamt}} = 83 \times 1117 \, \text{cm}^3 = 92711 \, \text{cm}^3 \] Nun müssen wir die Anordnung der Kassetten im Karton betrachten. Wenn wir die Kassetten in einer Schicht anordnen, können wir die Breite des Kartons berechnen. Angenommen, die Kassetten werden in einer Schicht mit der Länge und Höhe des Kartons ausgerichtet: - **Länge des Kartons**: 68,0 cm - **Höhe des Kartons**: 48,0 cm Die Kassetten können in der Länge des Kartons (68,0 cm) angeordnet werden. Die Anzahl der Kassetten, die in der Länge passen, ist: \[ \text{Anzahl in der Länge} = \frac{68,0 \, \text{cm}}{21,5 \, \text{cm}} \approx 3,16 \quad (\text{also 3 Kassetten}) \] Die Kassetten können auch in der Höhe des Kartons (48,0 cm) angeordnet werden. Die Anzahl der Kassetten, die in der Höhe passen, ist: \[ \text{Anzahl in der Höhe} = \frac{48,0 \, \text{cm}}{4,0 \, \text{cm}} = 12 \] Jetzt berechnen wir, wie viele Kassetten in einer Schicht passen: \[ \text{Kassetten pro Schicht} = 3 \times 12 = 36 \] Da wir 83 Kassetten haben, benötigen wir mindestens 3 Schichten: \[ \text{Anzahl der Schichten} = \lceil \frac{83}{36} \rceil = 3 \] Jetzt müssen wir die Breite des Kartons berechnen. In jeder Schicht benötigen wir Platz für die Breite der Kassetten. Die Kassetten werden in der Breite des Kartons angeordnet: \[ \text{Benötigte Breite} = 13,0 \, \text{cm} \times 3 = 39,0 \, \text{cm} \] Somit müsste der Karton eine Breite von mindestens 39,0 cm haben, um alle Kassetten unterzubringen.

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Um die benötigte Breite des Kartons zu berechnen, müssen wir zunächst das Volumen der Kassetten und die Anordnung im Karton berücksichtigen. Die Maße einer Kassette sind: -... [mehr]

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Um die benötigte Breite des Kartons zu berechnen, müssen wir zunächst das Volumen der Kassetten und die Anordnung im Karton berücksichtigen. Die Maße einer Kassette sind: - Länge: 21,5 cm - Breite: 13,0 cm - Höhe: 4,0 cm Für 100 Kassetten ergibt sich das Gesamtvolumen: - Gesamtvolumen = 100 Kassetten * (21,5 cm * 13,0 cm * 4,0 cm) Das Volumen einer Kassette ist: - Volumen einer Kassette = 21,5 cm * 13,0 cm * 4,0 cm = 1117 cm³ Das Gesamtvolumen für 100 Kassetten ist: - Gesamtvolumen = 100 * 1117 cm³ = 111700 cm³ Der Karton hat die Maße: - Länge: 68,0 cm - Höhe: 48,0 cm Um die Breite des Kartons zu berechnen, verwenden wir die Formel für das Volumen des Kartons: - Volumen des Kartons = Länge * Breite * Höhe Das Volumen des Kartons ist: - Volumen des Kartons = 68,0 cm * Breite * 48,0 cm Um die Breite zu finden, setzen wir das Gesamtvolumen der Kassetten gleich dem Volumen des Kartons: - 111700 cm³ = 68,0 cm * Breite * 48,0 cm Nun lösen wir nach der Breite auf: - Breite = 111700 cm³ / (68,0 cm * 48,0 cm) - Breite = 111700 cm³ / 3264 cm² - Breite ≈ 34,2 cm Der Karton müsste also eine Breite von etwa 34,2 cm haben, um die 100 Kassetten unterzubringen.