Wie tief sinkt ein Holzbrett von 2 m Breite und 1 m Länge mit einer Dichte von 500 kg/m³ bei einer Höhe von 0,2 m im Wasser ein?

Um zu bestimmen, wie tief das Holzbrett im Wasser einsinkt, kann das Prinzip des Auftriebs verwendet werden. Dertrieb, der auf das Brett wirkt, ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers.

1. **Berechnung des Volumens des Holzbretts:**
Das Volumen \( V_B \) des Holzbretts kann mit der Formel \( V_B = A_B \cdot h_B \) berechnet werden, wobei \( A_B \) die Fläche und \( h_B \) die Höhe ist. Da die Höhe des Bretts nicht gegeben ist, nehmen wir an, dass es vollständig im Wasser ist.

2. **Berechnung des Gewichts des Holzbretts:**
Das Gewicht \( G_B \) des Holzbretts ist:
\[
G_B = V_B \cdot \rho_B = A_B \cdot h_B \cdot \rho_B
\]
Hierbei ist \( \rho_B = 500 \, \text{kg/m}^3 \).

3. **Berechnung des Auftriebs:**
Der Auftrieb \( F_A \) ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers:
\[
F_A = V_W \cdot \rho_W \cdot g
\]
wobei \( \rho_W \) die Dichte des Wassers (ca. \( 1000 \, \text{kg/m}^3 \)) und \( g \) die Erdbeschleunigung (ca. \( 9,81 \, \text{m/s}^2 \)) ist.

4. **Gleichgewicht von Gewicht und Auftrieb:**
Im Gleichgewicht gilt:
\[
G_B = F_A
\]

5. **Einsinktiefe berechnen:**
Angenommen, das Brett sinkt bis zu einer Höhe \( h \) im Wasser ein, dann ist das verdrängte Volumen:
\[
V_W = A_B \cdot h
\]
Setzen wir die Gleichungen gleich:
\[
A_B \cdot h_B \cdot \rho_B = A_B \cdot h \cdot \rho_W
\]
Da \( A_B \) auf beiden Seiten der Gleichung steht, kann es gekürzt werden:
\[
h_B \cdot \rho_B = h \cdot \rho_W
\]
Daraus ergibt sich:
\[
h = \frac{h_B \cdot \rho_B}{\rho_W}
\]

6. **Einsetzen der Werte:**
\[
h = \frac{0,2 \, \text{m} \cdot 500 \, \text{kg/m}^3}{1000 \, \text{kg/m}^3} = 0,1 \, \text{m}
\]

Das Holzbrett sinkt also um 0,1 m (10 cm) ins Wasser ein.