Wie unterscheiden sich die stationären Energieniveaus für ein Teilchen im Kasten von denen eines freien Teilchens?

Die möglichen stationären Energieniveaus für ein Teilchen im Kasten (auch bekannt als "Teilchen im unendlichen Potentialtopf") unterscheiden sich grundlegend von denen eines freien Teilchens. Hier sind die Hauptunterschiede:

1. **Teilchen im Kasten:**
- **Quantisierung der Energie:** Die Energieniveaus sind diskret und quantisiert. Dies bedeutet, dass das Teilchen nur bestimmte, festgelegte Energiewerte annehmen kann.
- **Mathematische Form:** Die Energieniveaus sind gegeben durch \( E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \), wobei \( n \) eine positive ganze Zahl (1, 2, 3, ...) ist, \( h \) das Plancksche Wirkungsquantum, \( m \) die Masse des Teilchens und \( L \) die Länge des Kastens.
- **Wellenfunktionen:** Die Wellenfunktionen sind stehende Wellen, die an den Wänden des Kastens null sind. Sie haben die Form \( \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \).

2. **Freies Teilchen:**
- **Kontinuierliches Energiespektrum:** Die Energieniveaus sind kontinuierlich, was bedeutet, dass das Teilchen jede beliebige Energie annehmen kann.
- **Mathematische Form:** Die Energie eines freien Teilchens ist gegeben durch \( E = \frac{p^2}{2m} \), wobei \( p \) der Impuls des Teilchens ist. Da der Impuls kontinuierliche Werte annehmen kann, ist auch die Energie kontinuierlich.
- **Wellenfunktionen:** Die Wellenfunktionen sind ebene Wellen der Form \( \psi(x) = A e^{i k x} \), wobei \( k \) die Wellenzahl ist und \( A \) eine Normierungskonstante.

Zusammengefasst: Ein Teilchen im Kasten hat diskrete, quantisierte Energieniveaus und stehende Wellen als Wellenfunktionen, während ein freies Teilchen ein kontinuierliches Energiespektrum und ebene Wellen als Wellenfunktionen hat.