Bestimme eine möglichst kleine Äquivalenzrelation R auf M={1,2,3,4} mit {(1,2),(3,2)} Teilmenge von R.

Question

Bestimme eine möglichst kleine Äquivalenzrelation R auf M={1,2,3,4} mit {(1,2),(3,2)} Teilmenge von R.

Antwort

Verwandte Fragen

Berechne die Mächtigkeit einer Äquivalenzrelation R mit n=7.

R⊆n×n Relation mit kleinster Mächtigkeit, die symmetrisch, antisymmetrisch ist und (4,4)∈R für n=12. |R| ist?

Sei R⊆n×n eine Relation mit kleinster Mächtigkeit, n=7, R ist eine Präordnung (reflexiv & transitiv) und vollständig, und (1, 7),(2, 6)∈R. Wie groß ist |R|?

Accepted Answer

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Gegeben ist die Menge \( M = \{1, 2, 3, 4\} \) und die Teilmenge \( A = \{(1, 2), (3, 2)\} \). Um eine möglichst kleine Äquivalenzrelation \( R \) zu bestimmen, die \( A \) enthält, müssen wir die Eigenschaften der Äquivalenzrelation berücksichtigen: 1. **Reflexivität**: Jedes Element muss mit sich selbst in Relation stehen. Das bedeutet, dass wir die Paare \( (1, 1) \), \( (2, 2) \), \( (3, 3) \) und \( (4, 4) \) hinzufügen müssen. 2. **Symmetrie**: Wenn \( (1, 2) \) in \( R \) ist, muss auch \( (2, 1) \) in \( R \) sein. Das bedeutet, dass wir \( (2, 1) \) hinzufügen müssen. Analog gilt das für \( (3, 2) \), also muss auch \( (2, 3) \) in \( R \) sein. 3. **Transitivität**: Wenn \( (1, 2) \) und \( (2, 3) \) in \( R \) sind, muss auch \( (1, 3) \) in \( R \) sein. Das bedeutet, dass wir auch \( (1, 3) \) und \( (3, 1) \) hinzufügen müssen. Zusammengefasst ergibt sich die Relation \( R \) aus den folgenden Paaren: - Reflexivität: \( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \) - Symmetrie: \( (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) \) - Transitivität: \( (1, 3), (3, 1) \) Die vollständige Relation \( R \) ist also: \[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 1)\} \] Die Elemente \( 1, 2, 3 \) sind also in einer Äquivalenzklasse zusammengefasst, während \( 4 \) eine eigene Klasse bildet. Die kleinste Äquivalenzrelation \( R \) auf \( M \), die \( A \) enthält, ist somit: \[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\} \]

Accepted Answer

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge mit \( n \) Elementen teilt diese Menge in Äquivalenzklassen auf. Die kleinste Mächtigkeit einer Äquivalenzrelation ist erreicht, wenn alle... [mehr]

Accepted Answer

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge mit \( n \) Elementen teilt diese Menge in Äquivalenzklassen auf. Die kleinste Mächtigkeit einer Äquivalenzrelation ist erreicht, wenn alle Elemente in einer einzigen Äquivalenzklasse zusammengefasst werden. Für \( n = 7 \) bedeutet dies, dass alle 7 Elemente in einer einzigen Äquivalenzklasse sind. Daher ist die Mächtigkeit der Relation \( |R| = 7 \). Zusammenfassend ist die Antwort: \( |R| = 7 \).

Accepted Answer

Um die kleinste Mächtigkeit der Relation \( R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) zu bestimmen, die die angegebenen Eigenschaften erfüllt, betrachten wir die Bedingungen: 1. **Symmetr... [mehr]

Accepted Answer

Um die kleinste Mächtigkeit der Relation \( R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) zu bestimmen, die die angegebenen Eigenschaften erfüllt, betrachten wir die Bedingungen: 1. **Symmetrisch**: Wenn \( (a, b) \in R \), dann muss auch \( (b, a) \in R \) gelten. 2. **Antisymmetrisch**: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), dann muss \( a = b \) gelten. 3. **(4, 4) ∈ R**: Das Paar \( (4, 4) \) muss in der Relation enthalten sein. Die Bedingungen der Symmetrie und Antisymmetrie stehen im Widerspruch zueinander, es sei denn, die Relation enthält nur Paare der Form \( (a, a) \). Das bedeutet, dass die Relation nur Reflexivität zulässt, da für jedes \( a \neq b \) die Paare \( (a, b) \) und \( (b, a) \) nicht gleichzeitig in \( R \) sein können. Da \( (4, 4) \in R \) ist, muss \( R \) mindestens das Element \( (4, 4) \) enthalten. Um die kleinste Mächtigkeit zu erreichen, können wir nur die Reflexivpaare für die Elemente von \( \{1, 2, \ldots, 12\} \) in \( R \) aufnehmen. Die Reflexivpaare sind: - \( (1, 1) \) - \( (2, 2) \) - \( (3, 3) \) - \( (4, 4) \) - \( (5, 5) \) - \( (6, 6) \) - \( (7, 7) \) - \( (8, 8) \) - \( (9, 9) \) - \( (10, 10) \) - \( (11, 11) \) - \( (12, 12) \) Das ergibt insgesamt 12 Paare. Da wir nur die Reflexivpaare benötigen, ist die kleinste Mächtigkeit von \( R \): \[ |R| = 12 \]

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Um die Mächtigkeit der Relation \( R \) zu bestimmen, die eine Präordnung auf einer Menge mit \( n = 7 \) ist, müssen wir die Eigenschaften einer Präordnung berücksichtigen: R... [mehr]

Accepted Answer

Um die Mächtigkeit der Relation \( R \) zu bestimmen, die eine Präordnung auf einer Menge mit \( n = 7 \) ist, müssen wir die Eigenschaften einer Präordnung berücksichtigen: Reflexivität, Transitivität und Vollständigkeit. 1. **Reflexivität**: Für jede \( a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) muss \( (a, a) \in R \) gelten. Das bedeutet, dass wir mindestens 7 Paare hinzufügen müssen: \( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (, 7) \). 2. **Transitivität**: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, c) \in R \), dann muss auch \( (a, c) \in R \) gelten. Dies erfordert, dass wir darauf achten, wie die Paare miteinander verbunden sind. 3. **Vollständigkeit**: Für alle \( a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) muss entweder \( (a, b) \in R \) oder \( (b, a) \in R \) gelten. Das bedeutet, dass für jedes Paar von Elementen in der Menge eine Beziehung bestehen muss. Gegeben sind die Paare \( (1, 7) \) und \( (2, 6) \). Um die Relation vollständig zu machen, müssen wir alle möglichen Paare hinzufügen, die die oben genannten Eigenschaften erfüllen. Da die Relation vollständig ist, müssen wir für jedes der 7 Elemente eine Beziehung zu jedem anderen Element haben. Das bedeutet, dass wir insgesamt \( 7 \times 7 = 49 \) mögliche Paare haben. Da die Reflexivität bereits 7 Paare (eigenen Paare) erfordert und die Vollständigkeit sicherstellt, dass für jedes Paar eine Beziehung besteht, ist die kleinste Mächtigkeit von \( R \), die alle Bedingungen erfüllt, 49. Somit ist die Mächtigkeit von \( R \) gleich \( |R| = 49 \).