Bestimme eine möglichst kleine Äquivalenzrelation R auf M={1,2,3,4} mit {(1,2),(3,2)} Teilmenge von R.

Question

Bestimme eine möglichst kleine Äquivalenzrelation R auf M={1,2,3,4} mit {(1,2),(3,2)} Teilmenge von R.

Antwort

Verwandte Fragen

Was beschreibt das Symbol ∩?

Was ist der Unterschied zwischen einer Relation und einer Zuordnung?

Was bedeutet der Begriff Grenzpunkt?

Accepted Answer

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Gegeben ist die Menge \( M = \{1, 2, 3, 4\} \) und die Teilmenge \( A = \{(1, 2), (3, 2)\} \). Um eine möglichst kleine Äquivalenzrelation \( R \) zu bestimmen, die \( A \) enthält, müssen wir die Eigenschaften der Äquivalenzrelation berücksichtigen: 1. **Reflexivität**: Jedes Element muss mit sich selbst in Relation stehen. Das bedeutet, dass wir die Paare \( (1, 1) \), \( (2, 2) \), \( (3, 3) \) und \( (4, 4) \) hinzufügen müssen. 2. **Symmetrie**: Wenn \( (1, 2) \) in \( R \) ist, muss auch \( (2, 1) \) in \( R \) sein. Das bedeutet, dass wir \( (2, 1) \) hinzufügen müssen. Analog gilt das für \( (3, 2) \), also muss auch \( (2, 3) \) in \( R \) sein. 3. **Transitivität**: Wenn \( (1, 2) \) und \( (2, 3) \) in \( R \) sind, muss auch \( (1, 3) \) in \( R \) sein. Das bedeutet, dass wir auch \( (1, 3) \) und \( (3, 1) \) hinzufügen müssen. Zusammengefasst ergibt sich die Relation \( R \) aus den folgenden Paaren: - Reflexivität: \( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \) - Symmetrie: \( (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) \) - Transitivität: \( (1, 3), (3, 1) \) Die vollständige Relation \( R \) ist also: \[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 1)\} \] Die Elemente \( 1, 2, 3 \) sind also in einer Äquivalenzklasse zusammengefasst, während \( 4 \) eine eigene Klasse bildet. Die kleinste Äquivalenzrelation \( R \) auf \( M \), die \( A \) enthält, ist somit: \[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\} \]

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Das Symbol ∩ steht in der Mathematik für den Durchschnitt (Schnittmenge) zweier Mengen. Es beschreibt die Elemente, die in beiden Mengen gleichzeitig enthalten sind. Beispiel: Wenn A = {1,... [mehr]

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Das Symbol ∩ steht in der Mathematik für den Durchschnitt (Schnittmenge) zweier Mengen. Es beschreibt die Elemente, die in beiden Mengen gleichzeitig enthalten sind. Beispiel: Wenn A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 4}, dann ist A ∩ B = {2, 3}. Das Symbol wird also verwendet, um die gemeinsamen Elemente zweier (oder mehrerer) Mengen darzustellen.

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Eine **Relation** und eine **Zuordnung** sind Begriffe aus der Mathematik, die sich auf die Verbindung zwischen Elementen zweier Mengen beziehen, aber sie unterscheiden sich in ihrer Strenge und Bedeu... [mehr]

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Eine **Relation** und eine **Zuordnung** sind Begriffe aus der Mathematik, die sich auf die Verbindung zwischen Elementen zweier Mengen beziehen, aber sie unterscheiden sich in ihrer Strenge und Bedeutung: **Relation:** - Eine Relation zwischen zwei Mengen \(A\) und \(B\) ist eine beliebige Menge von geordneten Paaren \((a, b)\), wobei \(a \in A\) und \(b \in B\) ist. - Es können also mehrere Paare mit demselben \(a\) oder demselben \(b\) vorkommen. - Beispiel: Die Relation „ist größer als“ zwischen den Zahlenmengen \(\{1,2,3\}\) und \(\{2,3,4\}\) enthält z.B. die Paare \((2,3)\), \((3,2)\), \((3,4)\). **Zuordnung (Funktion/Abbildung):** - Eine Zuordnung (meist Funktion oder Abbildung genannt) ist eine spezielle Art von Relation. - Jedem Element \(a\) aus der Ausgangsmenge \(A\) wird **genau ein** Element \(b\) aus der Zielmenge \(B\) zugeordnet. - Es gibt also keine zwei Paare \((a, b_1)\) und \((a, b_2)\) mit \(b_1 \neq b_2\). - Beispiel: Die Funktion \(f(x) = x^2\) ordnet jeder Zahl \(x\) genau eine Zahl \(x^2\) zu. **Zusammengefasst:** - **Jede Zuordnung ist eine Relation, aber nicht jede Relation ist eine Zuordnung.** - Eine Relation kann beliebige Verbindungen zwischen den Mengen enthalten, eine Zuordnung ist eindeutig und ordnet jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zu.

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Ein Grenzpunkt ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus der Topologie und Analysis. Ein Punkt \( x \) heißt Grenzpunkt einer Menge \( M \), wenn jede noch so kleine Umgebung von \( x... [mehr]

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Ein Grenzpunkt ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus der Topologie und Analysis. Ein Punkt \( x \) heißt Grenzpunkt einer Menge \( M \), wenn jede noch so kleine Umgebung von \( x \) mindestens einen Punkt aus \( M \) enthält, der von \( x \) verschieden ist. Anschaulich bedeutet das: Egal wie nah man an \( x \) heranzoomt, man findet immer wieder Punkte aus \( M \) (außer vielleicht \( x \) selbst). Beispiel: Die Zahl 0 ist ein Grenzpunkt der Menge \( M = (0,1) \), weil es beliebig nahe an 0 immer noch Punkte aus \( M \) gibt. Grenzpunkte sind wichtig, um Begriffe wie Stetigkeit, Konvergenz und Abschluss von Mengen zu definieren.