4 Fragen zu Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Gegeben ist die Menge \( M = \{1, 2, 3, 4\} \) und die Teilmenge \( A = \{(1, 2), (3, 2)\} \). Um eine möglichst kleine Äquivalenzrelation \( R \) zu bestimmen, die \( A \) enthält, müssen wir die Eigenschaften der Äquivalenzrelation berücksichtigen: 1. **Reflexivität**: Jedes Element muss mit sich selbst in Relation stehen. Das bedeutet, dass wir die Paare \( (1, 1) \), \( (2, 2) \), \( (3, 3) \) und \( (4, 4) \) hinzufügen müssen. 2. **Symmetrie**: Wenn \( (1, 2) \) in \( R \) ist, muss auch \( (2, 1) \) in \( R \) sein. Das bedeutet, dass wir \( (2, 1) \) hinzufügen müssen. Analog gilt das für \( (3, 2) \), also muss auch \( (2, 3) \) in \( R \) sein. 3. **Transitivität**: Wenn \( (1, 2) \) und \( (2, 3) \) in \( R \) sind, muss auch \( (1, 3) \) in \( R \) sein. Das bedeutet, dass wir auch \( (1, 3) \) und \( (3, 1) \) hinzufügen müssen. Zusammengefasst ergibt sich die Relation \( R \) aus den folgenden Paaren: - Reflexivität: \( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \) - Symmetrie: \( (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) \) - Transitivität: \( (1, 3), (3, 1) \) Die vollständige Relation \( R \) ist also: \[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 1)\} \] Die Elemente \( 1, 2, 3 \) sind also in einer Äquivalenzklasse zusammengefasst, während \( 4 \) eine eigene Klasse bildet. Die kleinste Äquivalenzrelation \( R \) auf \( M \), die \( A \) enthält, ist somit: \[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\} \]

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge mit \( n \) Elementen teilt diese Menge in Äquivalenzklassen auf. Die kleinste Mächtigkeit einer Äquivalenzrelation ist erreicht, wenn alle Elemente in einer einzigen Äquivalenzklasse zusammengefasst werden. Für \( n = 7 \) bedeutet dies, dass alle 7 Elemente in einer einzigen Äquivalenzklasse sind. Daher ist die Mächtigkeit der Relation \( |R| = 7 \). Zusammenfassend ist die Antwort: \( |R| = 7 \).

Eine Äquivalenzrelation ist eine spezielle Art von binärer Relation auf einer Menge, die drei Eigenschaften erfüllt: 1. **Reflexivität**: Jedes Element ist zu sich selbst in Relation. Formal: Für alle \(a\) in der Menge \(A\) gilt \(a \sim a\). 2. **Symmetrie**: Wenn ein Element \(a\) zu einem Element \(b\) in Relation steht, dann steht auch \(b\) zu \(a\) in Relation. Formal: Für alle \(a, b\) in der Menge \(A\) gilt, wenn \(a \sim b\), dann auch \(b \sim a\). 3. **Transitivität**: Wenn ein Element \(a\) zu einem Element \(b\) in Relation steht und \(b\) zu einem Element \(c\) in Relation steht, dann steht auch \(a\) zu \(c\) in Relation. Formal: Für alle \(a, b, c\) in der Menge \(A\) gilt, wenn \(a \sim b\) und \(b \sim c\), dann auch \(a \sim c\). Ein Beispiel für eine Äquivalenzrelation ist die Relation der Kongruenz modulo \(n\) auf der Menge der ganzen Zahlen.

Um die Äquivalenzrelation \( xRy \) auf der Menge der natürlichen Zahlen \( \mathbb{N} \) zu untersuchen, betrachten wir die Bedingung \( x \cdot y - m^2 \) ist durch 17 teilbar. Dies bedeutet, dass \( x \cdot y \equiv m^2 \mod 17 \). Die Äquivalenzklassen werden durch die Quadrate modulo 17 bestimmt. Zuerst müssen wir die Quadrate der Zahlen von 0 bis 16 modulo 17 berechnen: \[ \begin{align*} 0^2 & \equiv 0 \mod 17, \\ 1^2 & \equiv 1 \mod 17, \\ 2^2 & \equiv 4 \mod 17, \\ 3^2 & \equiv 9 \mod 17, \\ 4^2 & \equiv 16 \mod 17, \\ 5^2 & \equiv 8 \mod 17, \\ 6^2 & \equiv 2 \mod 17, \\ 7^2 & \equiv 15 \mod 17, \\ 8^2 & \equiv 13 \mod 17, \\ 9^2 & \equiv 13 \mod 17, \\ 10^2 & \equiv 15 \mod 17, \\ 11^2 & \equiv 2 \mod 17, \\ 12^2 & \equiv 8 \mod 17, \\ 13^2 & \equiv 16 \mod 17, \\ 14^2 & \equiv 9 \mod 17, \\ 15^2 & \equiv 4 \mod 17, \\ 16^2 & \equiv 1 \mod 17. \end{align*} \] Die verschiedenen Quadrate modulo 17 sind also: \( 0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 \). Die Äquivalenzklassen sind dann die Mengen der natürlichen Zahlen, die zu einem bestimmten Quadrat modulo 17 gehören. Für jede Äquivalenzklasse können wir den kleinsten Vertreter bestimmen: 1. \( [0] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 0 \mod 17 \} \) (z.B. 0) 2. \( [1] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 1 \mod 17 \} \) (z.B. 1) 3. \( [2] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 2 \mod 17 \} \) (z.B. 2) 4. \( [4] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 4 \mod 17 \} \) (z.B. 4) 5. \( [8] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 8 \mod 17 \} \) (z.B. 8) 6. \( [9] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 9 \mod 17 \} \) (z.B. 9) 7. \( [13] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 13 \mod 17 \} \) (z.B. 13) 8. \( [15] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 15 \mod 17 \} \) (z.B. 15) 9. \( [16] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 16 \mod 17 \} \) (z.B. 16) Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklassen sind also: \( 0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 \).