Bestimme den kleinsten Vertreter jeder Äquivalenzklasse auf N für die Relation xRy: x⋅y−m² ist durch 17 teilbar.

Um die Äquivalenzrelation \( xRy \) auf der Menge der natürlichen Zahlen \( \mathbb{N} \) zu untersuchen, betrachten wir die Bedingung \( x \cdot y - m^2 \) ist durch 17 teilbar. Dies bedeutet, dass \( x \cdot y \equiv m^2 \mod 17 \).

Die Äquivalenzklassen werden durch die Quadrate modulo 17 bestimmt. Zuerst müssen wir die Quadrate der Zahlen von 0 bis 16 modulo 17 berechnen:

\[
\begin{align*}
0^2 & \equiv 0 \mod 17, \\
1^2 & \equiv 1 \mod 17, \\
2^2 & \equiv 4 \mod 17, \\
3^2 & \equiv 9 \mod 17, \\
4^2 & \equiv 16 \mod 17, \\
5^2 & \equiv 8 \mod 17, \\
6^2 & \equiv 2 \mod 17, \\
7^2 & \equiv 15 \mod 17, \\
8^2 & \equiv 13 \mod 17, \\
9^2 & \equiv 13 \mod 17, \\
10^2 & \equiv 15 \mod 17, \\
11^2 & \equiv 2 \mod 17, \\
12^2 & \equiv 8 \mod 17, \\
13^2 & \equiv 16 \mod 17, \\
14^2 & \equiv 9 \mod 17, \\
15^2 & \equiv 4 \mod 17, \\
16^2 & \equiv 1 \mod 17.
\end{align*}
\]

Die verschiedenen Quadrate modulo 17 sind also: \( 0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 \).

Die Äquivalenzklassen sind dann die Mengen der natürlichen Zahlen, die zu einem bestimmten Quadrat modulo 17 gehören. Für jede Äquivalenzklasse können wir den kleinsten Vertreter bestimmen:

1. \( [0] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 0 \mod 17 \} \) (z.B. 0)
2. \( [1] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 1 \mod 17 \} \) (z.B. 1)
3. \( [2] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 2 \mod 17 \} \) (z.B. 2)
4. \( [4] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 4 \mod 17 \} \) (z.B. 4)
5. \( [8] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 8 \mod 17 \} \) (z.B. 8)
6. \( [9] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 9 \mod 17 \} \) (z.B. 9)
7. \( [13] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 13 \mod 17 \} \) (z.B. 13)
8. \( [15] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 15 \mod 17 \} \) (z.B. 15)
9. \( [16] = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \cdot y \equiv 16 \mod 17 \} \) (z.B. 16)

Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklassen sind also: \( 0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 \).