Beweise, dass aus fünf natürlichen Zahlen immer drei so ausgewählt werden können, dass ihre Summe durch 3 teilbar ist.

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Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als Schubfachprinzip). Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt: - Klasse 0: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 haben. - Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben. - Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben. Wenn wir fünf natürliche Zahlen betrachten, gibt es nur drei Klassen (Rest 0, Rest 1, Rest 2). Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei der fünf Zahlen in einer der drei Klassen liegen, da wir mehr Zahlen (5) als Klassen (3) haben. Es gibt nun zwei Fälle zu betrachten: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen in einer Klasse. Wenn alle drei Zahlen aus der gleichen Klasse stammen, ist ihre Summe durch 3 teilbar, da die Summe von drei Zahlen, die alle den gleichen Rest haben, ebenfalls diesen Rest hat. 2. **Fall 2:** Es gibt zwei Zahlen in einer Klasse und mindestens eine Zahl in einer anderen Klasse. In diesem Fall können wir die beiden Zahlen aus der ersten Klasse und eine Zahl aus der zweiten Klasse auswählen. Die Summe dieser drei Zahlen wird ebenfalls durch 3 teilbar sein, da die beiden Zahlen aus der ersten Klasse den gleichen Rest haben und die dritte Zahl einen anderen Rest hat. Somit haben wir gezeigt, dass aus fünf natürlichen Zahlen immer drei ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.

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