Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, verschiede...
Ein Würfel wird sechs Mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens zweimal eine Eins zu werfen?
Antwort vomUm die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens zweimal die 1 geworfen wird, kannst du die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden. Zuerst berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als zweimal die 1 geworfen wird, also entweder 0 oder 1 Mal. 1. **Wahrscheinlichkeit für 0 Einsen**: Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf keine 1 zu werfen, beträgt \( \frac{5}{6} \). Bei sechs Würfen ist die Wahrscheinlichkeit, 0 Einsen zu werfen: \[ P(X = 0) = \left( \frac{5}{6} \right)^6 \] 2. **Wahrscheinlichkeit für 1 Eins**: Die Wahrscheinlichkeit, genau eine 1 zu werfen, kann mit der Binomialverteilung berechnet werden: \[ P(X = 1) = \binom{6}{1} \left( \frac{1}{6} \right)^1 \left( \frac{5}{6} \right)^5 \] Hierbei ist \( \binom{6}{1} = 6 \). 3. **Gesamte Wahrscheinlichkeit für weniger als 2 Einsen**: \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \] Setze die Werte ein: \[ P(X < 2) = \left( \frac{5}{6} \right)^6 + 6 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5 \] 4. **Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Einsen**: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) \] Jetzt kannst du die Berechnungen durchführen: - \( P(X = 0) = \left( \frac{5}{6} \right)^6 \approx 0.3349 \) - \( P(X = 1) = 6 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5 \approx 0.4019 \) Somit ergibt sich: \[ P(X < 2) \approx 0.3349 + 0.4019 \approx 0.7368 \] Daraus folgt: \[ P(X \geq 2) = 1 - 0.7368 \approx 0.2632 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zweimal die 1 geworfen wird, beträgt also etwa **26,32%**.
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