Liegt bei Dreiecken auf dem Thaleskreis der Winkel an den Berührungspunkten gleich?

Question

Liegt bei Dreiecken auf dem Thaleskreis der Winkel an den Berührungspunkten gleich?

Antwort

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Wie berechnet man die Winkelneigung bei 1 mm Gegenkathete und 40 mm Ankathete?

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Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen der Ebene 2x1 + x2 = 4 und der x1-x3-Ebene?

Accepted Answer

Ja, wenn zwei Dreiecke auf dem Thaleskreis liegen, dann sind die Winkel an den Berührungspunkten gleich. Dies liegt daran, dass jeder Winkel, der auf einem Halbkreis (Thaleskreis) liegt, ein rechter Winkel ist. Das bedeutet, dass die Winkel an den Berührungspunkten der beiden Dreiecke jeweils 90 Grad betragen.

Accepted Answer

Ein Thaleskreis ist ein Kreis, der über einer Strecke als Durchmesser konstruiert wird. Jeder Punkt auf dem Kreis, der nicht auf dem Durchmesser liegt, bildet mit den Endpunkten des Durchmessers... [mehr]

Accepted Answer

Ein Thaleskreis ist ein Kreis, der über einer Strecke als Durchmesser konstruiert wird. Jeder Punkt auf dem Kreis, der nicht auf dem Durchmesser liegt, bildet mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck (Satz des Thales). **Beispielhafte Skizze eines Thaleskreises:** ``` • P / \ / \ / \ A •---------• B ``` **Beschreibung:** - Die Punkte **A** und **B** sind die Endpunkte des Durchmessers des Kreises. - Der Kreis verläuft durch A und B. - Der Punkt **P** liegt auf dem Kreis (aber nicht auf dem Durchmesser). - Das Dreieck **APB** ist rechtwinklig im Punkt **P**. **So sieht ein Thaleskreis aus:** - Zeichne eine Strecke AB. - Konstruiere den Kreis mit AB als Durchmesser. - Jeder Punkt P auf dem Kreis (außer A und B) bildet mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Thaleskreis](https://de.wikipedia.org/wiki/Thaleskreis).

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Um die Winkelneigung (den Winkel α) zu berechnen, wenn die Gegenkathete 1 mm und die Ankathete 40 mm beträgt, verwendest du die Tangens-Funktion: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete... [mehr]

Accepted Answer

Um die Winkelneigung (den Winkel α) zu berechnen, wenn die Gegenkathete 1 mm und die Ankathete 40 mm beträgt, verwendest du die Tangens-Funktion: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{1}{40} \] Um den Winkel zu berechnen, benötigst du den Arkustangens (arctan oder tan⁻¹): \[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{40}\right) \] Das ergibt: \[ \alpha \approx \arctan(0{,}025) \approx 1{,}432^\circ \] **Antwort:** Die Winkelneigung beträgt etwa **1,43 Grad**.

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Der Tangens eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht ist also der Winkel \( x \), für den gilt: \[ \tan(x) = 2 \... [mehr]

Accepted Answer

Der Tangens eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht ist also der Winkel \( x \), für den gilt: \[ \tan(x) = 2 \] Um den Winkel zu berechnen, nutzt man die Umkehrfunktion des Tangens, also den Arkustangens (arctan oder tan\(^{-1}\)): \[ x = \arctan(2) \] Mit einem Taschenrechner oder einer entsprechenden Software erhält man: \[ x \approx 63{,}43^\circ \] In Radiant: \[ x \approx 1{,}107 \text{ rad} \] Der Winkel, dessen Tangens 2 ist, beträgt also etwa **63,43 Grad**.

Accepted Answer

Um den Winkel zu berechnen, wenn du die Entfernung (Grundlinie) und die Höhe (Gegenkathete) hast, kannst du die folgende Formel aus der Trigonometrie verwenden: **tan(α) = Höhe / Entf... [mehr]

Accepted Answer

Um den Winkel zu berechnen, wenn du die Entfernung (Grundlinie) und die Höhe (Gegenkathete) hast, kannst du die folgende Formel aus der Trigonometrie verwenden: **tan(α) = Höhe / Entfernung** Der Winkel α ergibt sich dann durch die Umkehrfunktion des Tangens (Arctan oder tan⁻¹): **α = arctan(Höhe / Entfernung)** Du kannst das mit einem Taschenrechner oder online berechnen, indem du z.B. eingibst: arctan(Höhe ÷ Entfernung) Das Ergebnis ist der Winkel in Grad (je nach Einstellung des Rechners). **Beispiel:** - Höhe = 3 m - Entfernung = 4 m α = arctan(3 / 4) ≈ 36,87° Falls du einen Online-Rechner nutzen möchtest, findest du z.B. hier einen: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/rechner_winkel.htm Falls du weitere Werte hast, kannst du sie einfach einsetzen.

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Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor: **1. Bestimme die Normalenvektoren:** - Die Ebene \( F \) hat die Gleichung... [mehr]

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Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor: **1. Bestimme die Normalenvektoren:** - Die Ebene \( F \) hat die Gleichung \( 2x_1 + x_2 = 4 \). Der Normalenvektor ist also \( \vec{n}_F = (2, 1, 0) \). - Die \( x_1x_3 \)-Ebene ist die Ebene mit \( x_2 = 0 \). Ihr Normalenvektor ist \( \vec{n}_{x_1x_3} = (0, 1, 0) \). **2. Berechne den Winkel zwischen den Normalenvektoren:** Der Kosinus des Winkels \( \alpha \) zwischen den Normalenvektoren ist: \[ \cos\alpha = \frac{\vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3}}{|\vec{n}_F| \cdot |\vec{n}_{x_1x_3}|} \] Berechne das Skalarprodukt: \[ \vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3} = (2, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \] Beträge: \[ |\vec{n}_F| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{n}_{x_1x_3}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] Setze ein: \[ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63,43^\circ \] **3. Gesuchter Schnittwinkel:** Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen ist der Komplementärwinkel zu \( \alpha \), also: \[ \beta = 90^\circ - \alpha \approx 26,57^\circ \] **Antwort:** Die Ebene \( F \) schneidet die \( x_1x_3 \)-Ebene unter einem Winkel von etwa **26,57°**.