Wie berechne ich exp(A) für A= [2 -1; 9 -4] in M2(C)?

Um die Matrix-Exponentialfunktion \(\exp(A)\) für die gegebene Matrix \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 9 & -4 \end{pmatrix}\) zu berechnen, kannst du die Jordan-Normalform oder die Diagonalisierung verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Berechnung:

1. **Eigenwerte der Matrix \(A\) finden:**
Die Eigenwerte \(\lambda\) der Matrix \(A\) sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\).

\[
\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ 9 & -4 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)(-4 - \lambda) - (-1)(9) = \lambda^2 + 2\lambda - 1
\]

Die charakteristische Gleichung ist also:

\[
\lambda^2 + 2\lambda - 1 = 0
\]

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind die Eigenwerte:

\[
\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}
\]

2. **Eigenvektoren der Matrix \(A\) finden:**
Für jeden Eigenwert \(\lambda\), finde den zugehörigen Eigenvektor \(v\) durch Lösen des Gleichungssystems \((A - \lambda I)v = 0\).

Für \(\lambda_1 = -1 + \sqrt{2}\):

\[
\begin{pmatrix} 2 - (-1 + \sqrt{2}) & -1 \\ 9 & -4 - (-1 + \sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - \sqrt{2} & -1 \\ 9 & -3 - \sqrt{2} \end{pmatrix}
\]

Löse das Gleichungssystem:

\[
(3 - \sqrt{2})v_1 - v_2 = 0
\]
\[
9v_1 + (-3 - \sqrt{2})v_2 = 0
\]

Für \(\lambda_2 = -1 - \sqrt{2}\):

\[
\begin{pmatrix} 2 - (-1 - \sqrt{2}) & -1 \\ 9 & -4 - (-1 - \sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \sqrt{2} & -1 \\ 9 & -3 + \sqrt{2} \end{pmatrix}
\]

Löse das Gleichungssystem:

\[
(3 + \sqrt{2})v_1 - v_2 = 0
\]
\[
9v_1 + (-3 + \sqrt{2})v_2 = 0
\]

3. **Diagonalisierung der Matrix \(A\):**
Wenn \(A\) diagonalisierbar ist, dann existiert eine invertierbare Matrix \(P\) und eine Diagonalmatrix \(D\) so, dass \(A = PDP^{-1}\), wobei \(D\) die Eigenwerte von \(A\) auf der Diagonale hat.

\[
D = \begin{pmatrix} -1 + \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -1 - \sqrt{2} \end{pmatrix}
\]

Die Matrix \(P\) besteht aus den Eigenvektoren von \(A\).

4. **Berechnung der Matrix-Exponentialfunktion:**
Die Matrix-Exponentialfunktion von \(A\) ist dann:

\[
\exp(A) = P \exp(D) P^{-1}
\]

Da \(D\) eine Diagonalmatrix ist, ist \(\exp(D)\) einfach die Exponentialfunktion der Diagonalelemente:

\[
\exp(D) = \begin{pmatrix} \exp(-1 + \sqrt{2}) & 0 \\ 0 & \exp(-1 - \sqrt{2}) \end{pmatrix}
\]

Schließlich:

\[
\exp(A) = P \begin{pmatrix} \exp(-1 + \sqrt{2}) & 0 \\ 0 & \exp(-1 - \sqrt