Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Familie mit drei Kindern genau drei Mädchen?

Question

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Familie mit drei Kindern genau drei Mädchen?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Familie mit drei Kindern genau drei Mädchen hat, kann die Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens beträgt \(1 - 0,513 = 0,487\) oder 48,7%. Die Formel für die Binomialverteilung lautet: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Dabei ist: - \( n \) die Anzahl der Versuche (in diesem Fall 3 Kinder), - \( k \) die Anzahl der Erfolge (in diesem Fall 3 Mädchen), - \( p \) die Erfolgswahrscheinlichkeit (in diesem Fall 0,487). Setze die Werte in die Formel ein: \[ P(X = 3) = \binom{3}{3} (0,487)^3 (1-0,487)^{3-3} \] Berechne die Binomialkoeffizienten und Wahrscheinlichkeiten: \[ \binom{3}{3} = 1 \] \[ (0,487)^3 = 0,1157 \] \[ (1-0,487)^0 = 1 \] Somit ergibt sich: \[ P(X = 3) = 1 \cdot 0,1157 \cdot 1 = 0,1157 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit drei Kindern genau drei Mädchen hat, beträgt also etwa 11,57%.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.