Vereinfache den Ausdruck zur Form a+bi: zuz+u mit z=2+3i und u=-1+2i.

Question

Accepted Answer

Um den Ausdruck $ \frac{zu}{z+u} $ zu vereinfachen, setzen wir die gegebenen Werte für $ z $ und $ u $ ein:

1. $ z = 2 + 3i $
2. $ u = -1 + 2i $

Zuerst berechnen wir $ zu $:

$$
zu = (2 + 3i)(-1 + 2i)
$$

Verwende die distributive Eigenschaft:

$$
zu = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (2i) + 3i \cdot (-1) + 3i \cdot (2i)
$$
$$
= -2 + 4i - 3i + 6(-1)
$$
$$
= -2 + i - 6
$$
$$
= -8 + i
$$

Jetzt berechnen wir $ z + u $:

$$
z + u = (2 + 3i) + (-1 + 2i)
$$
$$
= 2 - 1 + (3i + 2i)
$$
$$
= 1 + 5i
$$

Nun setzen wir die Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein:

$$
\frac{zu}{z+u} = \frac{-8 + i}{1 + 5i}
$$

Um diesen Bruch zu vereinfachen, multiplizieren wir Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners:

$$
\frac{-8 + i}{1 + 5i} \cdot \frac{1 - 5i}{1 - 5i} = \frac{(-8 + i)(1 - 5i)}{(1 + 5i)(1 - 5i)}
$$

Berechne den Nenner:

$$
(1 + 5i)(1 - 5i) = 1^2 - (5i)^2 = 1 - 25(-1) = 1 + 25 = 26
$$

Berechne den Zähler:

$$
(-8 + i)(1 - 5i) = -8 \cdot 1 + (-8)(-5i) + i \cdot 1 + i \cdot (-5i)
$$
$$
= -8 + 40i + i - 5(-1)
$$
$$
= -8 + 40i + i + 5
$$
$$
= -3 + 41i
$$

Setze alles zusammen:

$$
\frac{-3 + 41i}{26} = -\frac{3}{26} + \frac{41}{26}i
$$

Die vereinfachte Form des Ausdrucks ist:

$$
-\frac{3}{26} + \frac{41}{26}i
$$

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