Vereinfache den Ausdruck zur Form a+bi: zuz+u mit z=2+3i und u=-1+2i.

Um den Ausdruck \( \frac{zu}{z+u} \) zu vereinfachen, setzen wir die gegebenen Werte für \( z \) und \( u \) ein:

1. \( z = 2 + 3i \)
2. \( u = -1 + 2i \)

Zuerst berechnen wir \( zu \):

\[
zu = (2 + 3i)(-1 + 2i)
\]

Verwende die distributive Eigenschaft:

\[
zu = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (2i) + 3i \cdot (-1) + 3i \cdot (2i)
\]
\[
= -2 + 4i - 3i + 6(-1)
\]
\[
= -2 + i - 6
\]
\[
= -8 + i
\]

Jetzt berechnen wir \( z + u \):

\[
z + u = (2 + 3i) + (-1 + 2i)
\]
\[
= 2 - 1 + (3i + 2i)
\]
\[
= 1 + 5i
\]

Nun setzen wir die Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein:

\[
\frac{zu}{z+u} = \frac{-8 + i}{1 + 5i}
\]

Um diesen Bruch zu vereinfachen, multiplizieren wir Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners:

\[
\frac{-8 + i}{1 + 5i} \cdot \frac{1 - 5i}{1 - 5i} = \frac{(-8 + i)(1 - 5i)}{(1 + 5i)(1 - 5i)}
\]

Berechne den Nenner:

\[
(1 + 5i)(1 - 5i) = 1^2 - (5i)^2 = 1 - 25(-1) = 1 + 25 = 26
\]

Berechne den Zähler:

\[
(-8 + i)(1 - 5i) = -8 \cdot 1 + (-8)(-5i) + i \cdot 1 + i \cdot (-5i)
\]
\[
= -8 + 40i + i - 5(-1)
\]
\[
= -8 + 40i + i + 5
\]
\[
= -3 + 41i
\]

Setze alles zusammen:

\[
\frac{-3 + 41i}{26} = -\frac{3}{26} + \frac{41}{26}i
\]

Die vereinfachte Form des Ausdrucks ist:

\[
-\frac{3}{26} + \frac{41}{26}i
\]