Können die Vektoren (1,1,1) , (1,0,1) , (2,1,1) und (1,2,2) linear unabhängig sein?

Um zu überprüfen, ob die Vektoren \((1,1,1)\), \((1,0,1)\), \((2,1,1)\) und \((1,2,2)\) linear unabhängig sind, kann man sie in eine Matrix eintragen und die Determinante berechnen. Wenn die Determinante der Matrix ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Andernfalls sind sie linear abhängig.

Die Matrix, die aus diesen Vektoren gebildet wird, sieht wie folgt aus:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]

Da es sich um eine \(3 \times 4\)-Matrix handelt (mehr Spalten als Zeilen), kann die Determinante nicht direkt berechnet werden. Stattdessen kann man das Rangkriterium verwenden. Wenn der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl der Vektoren (4) ist, sind die Vektoren linear abhängig.

Führe die Zeilenreduktion durch, um den Rang der Matrix zu bestimmen:

1. Subtrahiere die erste Zeile von der zweiten und dritten Zeile:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]

2. Multipliziere die zweite Zeile mit \(-1\):
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]

3. Addiere die zweite Zeile zur dritten Zeile:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Die Matrix hat nun eine Zeile, die vollständig aus Nullen besteht, was bedeutet, dass der Rang der Matrix 3 ist. Da der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl der Vektoren (4) ist, sind die Vektoren linear abhängig.

Daher können die Vektoren \((1,1,1)\), \((1,0,1)\), \((2,1,1)\) und \((1,2,2)\) nicht linear unabhängig sein.