Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **...
Um das unbestimmte Integral \(\int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} \, dx\) zu lösen, können wir eine geeignete Substitution verwenden. Zunächst bemerken wir, dass \(1 - \cos x = 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\). Daraus folgt: \[ \sqrt{1 - \cos x} = \sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) \] Außerdem gilt \(\sin x = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)\). Damit können wir das Integral umschreiben: \[ \int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} \, dx = \int \frac{2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \, dx \] Das vereinfacht sich zu: \[ \int \frac{2 \cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{2}} \, dx \] Nun können wir die Konstante \(\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) herausziehen: \[ \sqrt{2} \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) \, dx \] Das Integral von \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\) ist: \[ \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Setzen wir das zurück in unser Integral ein: \[ \sqrt{2} \cdot 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C = 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Somit ist das unbestimmte Integral: \[ \int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} \, dx = 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C \]
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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \...
Die Zahl 2,221441469 liegt zwischen π (Pi ≈ 3,141592654) und √2 (Wurzel aus 2 ≈ 1,414213562). Sie ist also größer als die Wurzel aus 2, aber kleiner als Pi. Ein Vergle...
Die Aussage „Die Wurzel aus a² ist gleich dem Betrag von a“ lässt sich mit den Eigenschaften der Quadratwurzel und des Betrags erklären – und das hängt vom Zahlen...
Die Wurzel aus \( a^2 \) ist der Betrag von \( a \), weil die Quadratwurzel per Definition immer den nicht-negativen Wert liefert. Hier die Erklärung im Detail: - Das Quadrat einer Zahl \( a \)...
Das unbestimmte Integral von \( x \) bezüglich \( x \) lautet: \[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C \] wobei \( C \) die Integrationskonstante ist.