Die gesuchte Fläche unter \( f(x)=\cos(x)+2 \) im Intervall \( [-\pi,\,1] \) ist \[ A=\int{-\pi}^{1} (\cos(x)+2)\,dx \] Stammfunktion: \[ \int (\cos(x)+2)\,dx=\sin(x)+2x \] Grenzen einsetze...
Unbestimmtes Integral von (sin(x))/(sqrt(1-cos(x)))?
Antwort vomUm das unbestimmte Integral \(\int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} \, dx\) zu lösen, können wir eine geeignete Substitution verwenden. Zunächst bemerken wir, dass \(1 - \cos x = 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\). Daraus folgt: \[ \sqrt{1 - \cos x} = \sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) \] Außerdem gilt \(\sin x = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)\). Damit können wir das Integral umschreiben: \[ \int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} \, dx = \int \frac{2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \, dx \] Das vereinfacht sich zu: \[ \int \frac{2 \cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{2}} \, dx \] Nun können wir die Konstante \(\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) herausziehen: \[ \sqrt{2} \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) \, dx \] Das Integral von \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\) ist: \[ \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Setzen wir das zurück in unser Integral ein: \[ \sqrt{2} \cdot 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C = 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Somit ist das unbestimmte Integral: \[ \int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} \, dx = 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C \]
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