Welche Punkte sind symmetrisch zum Graphen f(x) = (x-56)^33 +12?

Question

Welche Punkte sind symmetrisch zum Graphen f(x) = (x-56)^33 +12?

Antwort

Verwandte Fragen

Was ist die Produktregel?

-cos(x) abgeleitet?

Was ist eine spannende Idee zur Einführung in Funktionen?

Accepted Answer

Um die symmetrischen Punkte zum Graphen der Funktion \( f(x) = (x-56)^{33} + 12 \) zu finden, betrachten wir die Symmetrie bezüglich der y-Achse oder einer anderen Achse. Da die Funktion \( f(x) \) eine ungerade Potenz hat (33), ist sie nicht achsensymmetr. Um die symmetrischen Punkte zu finden, die bezüglich einer bestimmten Achse liegen, kannst du die Punkte \( (a, f(a)) \) und \( (b, f(b)) \) betrachten, wobei \( b = 112 - a \) ist, um die Symmetrie um die Linie \( x = 56 \) zu untersuchen. Für jeden Punkt \( (x, f(x)) \) auf dem Graphen gibt es einen symmetrischen Punkt \( (112 - x, f(112 - x)) \). Um die genauen symmetrischen Punkte zu bestimmen, wähle einen Wert für \( x \) und berechne \( f(x) \) sowie \( f(112 - x) \). Beispiel: 1. Wähle \( x = 56 \): - \( f(56) = (56-56)^{33} + 12 = 12 \) - Symmetrischer Punkt: \( (56, 12) \) 2. Wähle \( x = 57 \): - \( f(57) = (57-56)^{33} + 12 = 1 + 12 = 13 \) - Symmetrischer Punkt: \( (55, f(55)) = (55, 13) \) So kannst du für beliebige \( x \)-Werte die symmetrischen Punkte finden.

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Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.

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Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

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Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten... [mehr]

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Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten“. Stelle dir vor, du wirfst eine Münze in einen Automaten und wählst ein Getränk aus. Für jede Eingabe (Münze + Auswahl) gibt der Automat genau ein Getränk aus. Das ist wie bei einer Funktion: Jeder Eingabewert (x) wird eindeutig einem Ausgabewert (f(x)) zugeordnet. Du kannst das Thema interaktiv gestalten, indem du die Lernenden eigene „Automaten-Funktionen“ erfinden lässt (z.B. „Was passiert, wenn ich eine 2 eingebe?“) oder sie verschiedene Automaten vergleichen lässt (z.B. Automaten, die für dieselbe Eingabe unterschiedliche Ausgaben liefern – das wäre dann keine Funktion). So wird das abstrakte Konzept greifbar und die Bedeutung von „eindeutiger Zuordnung“ verständlich.