Wie kann ich zeigen, dass sich aus 5 natürlichen Zahlen stets 3 Zahlen auswählen lassen, deren Summe durch 3 teilbar ist?

Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt können, deren Summe durch 3 teilbar ist, kannst du den Satz von Dirichlet (auch bekannt als das Schubfachprinzip) verwenden. Hier ist eine mögliche Argumentation:

1. **Restklassen modulo 3**: Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Restklassen fällt.

2. **Anzahl der Zahlen**: Wenn du fünf natürliche Zahlen hast, dann gibt es nur drei Restklassen (0, 1 und 2). Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei dieser fünf Zahlen in derselben Restklasse liegen.

3. **Fallunterscheidung**:
- **Fall 1**: Wenn mindestens drei Zahlen den Rest 0 haben, dann ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar.
- **Fall 2**: Wenn zwei Zahlen den Rest 1 und zwei Zahlen den Rest 2 haben, kannst du eine Zahl aus der Restklasse 1 und zwei Zahlen aus der Restklasse 2 wählen (oder umgekehrt). Die Summe dieser drei Zahlen ist ebenfalls durch 3 teilbar, da \(1 + 1 + 2 = 4\) und \(4 \mod 3 = 1\), was nicht direkt hilft. Aber du kannst auch zwei Zahlen aus der Restklasse 1 und eine aus der Restklasse 0 wählen, was die Summe durch 3 teilbar macht.
- **Fall 3**: Wenn du eine Zahl aus jeder Restklasse (0, 1 und 2) wählst, ist die Summe \(0 + 1 + 2 = 3\), die ebenfalls durch 3 teilbar ist.

4. **Schlussfolgerung**: In jedem Fall kannst du also immer drei Zahlen auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Damit hast du gezeigt, dass aus fünf natürlichen Zahlen immer drei ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.