Beweise, dass aus 5 natürlichen Zahlen immer 3 ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass aus 5 natürlichen Zahlen stets 3 ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als Schubfachprinzip). Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt: - Klasse 0: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 haben. - Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben. - Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben. Wenn wir 5 natürliche Zahlen betrachten, gibt es nur 3 mögliche Reste (0, 1 und 2). Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei der 5 Zahlen in einer der drei Klassen liegen. Es gibt nun zwei Fälle zu betrachten: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens 3 Zahlen, die den gleichen Rest haben. Wenn alle 3 Zahlen den gleichen Rest haben, dann ist ihre Summe ebenfalls durch 3 teilbar. 2. **Fall 2:** Es gibt genau 2 Zahlen in einer Klasse und 3 in einer anderen. In diesem Fall können wir eine Zahl aus der Klasse mit 2 Zahlen und eine Zahl aus der Klasse mit 3 Zahlen auswählen. Die Summe dieser beiden Zahlen wird ebenfalls durch 3 teilbar sein, da die Summe der Reste in diesem Fall immer 0, 1 oder 2 ergibt, was bedeutet, dass wir immer eine Kombination finden können, die durch 3 teilbar ist. Somit haben wir gezeigt, dass aus 5 natürlichen Zahlen immer 3 ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.