Lässt sich aus 4 natürlichen Zahlen stets 3 auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist?

Um zu untersuchen, ob aus 4 natürlichen Zahlen stets 3 Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, betrachten wir die möglichen Reste der Zahlen bei der Division durch 3. Jede natürliche Zahl kann den Rest 0, 1 oder 2 haben, wenn sie durch 3 geteilt wird. Es gibt insgesamt 3 mögliche Reste. Wenn wir 4 natürliche Zahlen haben, müssen wir mindestens einen Rest doppelt haben, da es nur 3 verschiedene Reste gibt (dies folgt aus dem Schubfachprinzip). Es gibt mehrere Fälle, die wir betrachten können: 1. **Fall 1:** Alle 4 Zahlen haben den gleichen Rest (z.B. alle Rest 0). In diesem Fall ist jede Auswahl von 3 Zahlen durch 3 teilbar, da die Summe der Reste ebenfalls 0 ist. 2. **Fall 2:** 3 Zahlen haben den Rest 0 und eine hat den Rest 1 oder 2. Die Summe der 3 Zahlen mit Rest 0 ist durch 3 teilbar. 3. **Fall 3:** 3 Zahlen haben den Rest 1 und eine hat den Rest 0 oder 2. Auch hier ist die Summe der 3 Zahlen mit Rest 1 nicht durch 3 teilbar, aber die Auswahl von 2 Zahlen mit Rest 1 und einer mit Rest 0 ergibt eine Summe, die durch 3 teilbar ist. 4. **Fall 4:** 3 Zahlen haben den Rest 2 und eine hat den Rest 0 oder 1. Hier gilt das Gleiche wie im vorherigen Fall. 5. **Fall 5:** Es gibt eine Kombination von Resten, z.B. 2 mit Rest 0, 1 mit Rest 1 und 1 mit Rest 2. In diesem Fall können wir immer noch 3 Zahlen auswählen, die eine Summe ergeben, die durch 3 teilbar ist. In jedem dieser Fälle können wir also immer 3 Zahlen auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Daher lässt sich sagen, dass aus 4 natürlichen Zahlen stets 3 Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.