Zeige, dass f ~ g <=> f(0) < g(0) eine strikte totale Ordnung auf X={f:R->R} definiert.

Um zu zeigen, dass die Relation \( f \sim g \) definiert durch \( f(0) < g(0) \) eine strikte totale Ordnung auf der Menge \( X = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} \) ist, müssen wir die folgenden Eigenschaften überprüfen:

1. **Strikte Transitivität**: Wenn \( f \sim g \) und \( g \sim h \), dann muss auch \( f \sim h \) gelten.
- Angenommen \( f(0) < g(0) \) und \( g(0) < h(0) \). Dann folgt aus der Transitivität der reellen Zahlen, dass \( f(0) < h(0) \). Somit ist \( f \sim h \).

2. **Strikte Irreflexivität**: Für alle \( f \in X \) gilt \( \neg (f \sim f) \).
- Es gilt \( f(0) < f(0) \) ist niemals wahr. Daher ist die Relation irreflexiv.

3. **Totalität**: Für alle \( f, g \in X \) gilt entweder \( f \sim g \), \( g \sim f \) oder \( f = g \).
- Für zwei beliebige Funktionen \( f \) und \( g \) gibt es drei Möglichkeiten:
- \( f(0) < g(0) \) (dann \( f \sim g \)),
- \( g(0) < f(0) \) (dann \( g \sim f \)),
- \( f(0) = g(0) \) (in diesem Fall ist die Relation nicht definiert, aber wir können sagen, dass die strikte Ordnung nicht gilt).

Da die Relation \( f \sim g \) die Eigenschaften der strikten Transitivität, Irreflexivität und Totalität erfüllt, ist sie eine strikte totale Ordnung auf der Menge \( X \).