Zeige, dass f ~ g <=> f(0) < g(0) eine strikte totale Ordnung auf X={f:R->R} definiert.

Question

Zeige, dass f ~ g <=> f(0) < g(0) eine strikte totale Ordnung auf X={f:R->R} definiert.

Antwort

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Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Warum wächst e^x schneller als x^n?

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass die Relation \( f \sim g \) definiert durch \( f(0) < g(0) \) eine strikte totale Ordnung auf der Menge \( X = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} \) ist, müssen wir die folgenden Eigenschaften überprüfen: 1. **Strikte Transitivität**: Wenn \( f \sim g \) und \( g \sim h \), dann muss auch \( f \sim h \) gelten. - Angenommen \( f(0) < g(0) \) und \( g(0) < h(0) \). Dann folgt aus der Transitivität der reellen Zahlen, dass \( f(0) < h(0) \). Somit ist \( f \sim h \). 2. **Strikte Irreflexivität**: Für alle \( f \in X \) gilt \( \neg (f \sim f) \). - Es gilt \( f(0) < f(0) \) ist niemals wahr. Daher ist die Relation irreflexiv. 3. **Totalität**: Für alle \( f, g \in X \) gilt entweder \( f \sim g \), \( g \sim f \) oder \( f = g \). - Für zwei beliebige Funktionen \( f \) und \( g \) gibt es drei Möglichkeiten: - \( f(0) < g(0) \) (dann \( f \sim g \)), - \( g(0) < f(0) \) (dann \( g \sim f \)), - \( f(0) = g(0) \) (in diesem Fall ist die Relation nicht definiert, aber wir können sagen, dass die strikte Ordnung nicht gilt). Da die Relation \( f \sim g \) die Eigenschaften der strikten Transitivität, Irreflexivität und Totalität erfüllt, ist sie eine strikte totale Ordnung auf der Menge \( X \).

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

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Accepted Answer

Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.