Sind das Skalarprodukt ⃗a · ⃗b und der Winkel zwischen den Vektoren ⃗a und ⃗b bei Drehungen des Koordinatensystems invariant?

Ja, das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) und der Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind invariant unter Drehungen des Koordinatensystems.

Das Skalarprodukt wird definiert als:

\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)
\]

wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den Vektoren ist. Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern sich die Koordinaten der Vektoren, aber die Längen der Vektoren und der Winkel zwischen ihnen bleiben gleich. Daher bleibt auch das Skalarprodukt unverändert.

Zusammenfassend: Sowohl das Skalarprodukt als auch der Winkel zwischen den Vektoren sind invariant unter Drehungen des Koordinatensystems.