Gleichung der Form sin(alpha) = c: Winkel im Einheitskreis einzeichnen und berechnen?

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Gleichung der Form sin(alpha) = c: Winkel im Einheitskreis einzeichnen und berechnen?

Antwort

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Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen der Ebene 2x1 + x2 = 4 und der x1-x3-Ebene?

Wie viele Lösungswege gibt es, um ein Dreieck mit einem Katheter und einem Winkel zu lösen?

In welchem Quadranten liegt Winkel alpha, wenn sin(alpha) > 0 und cos(alpha) < 0?

Accepted Answer

Um die Gleichung der Form \(\sin(\alpha) = c\) zu lösen und den Winkel \(\alpha\) im Einheitskreis einzuzeichnen, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme den Winkel \(\alpha\)**: - Der Sinus eines Winkels \(\alpha\) ist definiert als die y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis, der durch den Winkel \(\alpha\) beschrieben wird. - Wenn \(\sin(\alpha) = c\), dann suchst du den Winkel \(\alpha\), bei dem die y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis \(c\) ist. 2. **Zeichne den Winkel im Einheitskreis ein**: - Zeichne einen Einheitskreis (Kreis mit Radius 1). - Markiere die y-Koordinate \(c\) auf der vertikalen Achse. - Zeichne eine horizontale Linie durch diesen Punkt \(c\). Diese Linie schneidet den Einheitskreis in zwei Punkten. - Die Winkel \(\alpha\) und \(\pi - \alpha\) (im Bogenmaß) entsprechen den Positionen dieser Schnittpunkte. 3. **Berechne die Winkel**: - Der Hauptwinkel \(\alpha\) kann durch \(\alpha = \arcsin(c)\) berechnet werden. - Der zweite Winkel ist \(\pi - \alpha\), da der Sinus im zweiten Quadranten ebenfalls \(c\) ist. Beispiel: - Wenn \(\sin(\alpha) = 0.5\), dann ist \(\alpha = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}\) (30 Grad). - Der zweite Winkel ist \(\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) (150 Grad). Diese beiden Winkel \(\frac{\pi}{6}\) und \(\frac{5\pi}{6}\) sind die Lösungen der Gleichung \(\sin(\alpha) = 0.5\) im Bereich von 0 bis \(2\pi\).

Accepted Answer

Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor: **1. Bestimme die Normalenvektoren:** - Die Ebene \( F \) hat die Gleichung... [mehr]

Accepted Answer

Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor: **1. Bestimme die Normalenvektoren:** - Die Ebene \( F \) hat die Gleichung \( 2x_1 + x_2 = 4 \). Der Normalenvektor ist also \( \vec{n}_F = (2, 1, 0) \). - Die \( x_1x_3 \)-Ebene ist die Ebene mit \( x_2 = 0 \). Ihr Normalenvektor ist \( \vec{n}_{x_1x_3} = (0, 1, 0) \). **2. Berechne den Winkel zwischen den Normalenvektoren:** Der Kosinus des Winkels \( \alpha \) zwischen den Normalenvektoren ist: \[ \cos\alpha = \frac{\vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3}}{|\vec{n}_F| \cdot |\vec{n}_{x_1x_3}|} \] Berechne das Skalarprodukt: \[ \vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3} = (2, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \] Beträge: \[ |\vec{n}_F| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{n}_{x_1x_3}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] Setze ein: \[ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63,43^\circ \] **3. Gesuchter Schnittwinkel:** Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen ist der Komplementärwinkel zu \( \alpha \), also: \[ \beta = 90^\circ - \alpha \approx 26,57^\circ \] **Antwort:** Die Ebene \( F \) schneidet die \( x_1x_3 \)-Ebene unter einem Winkel von etwa **26,57°**.

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Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht si... [mehr]

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Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht sich auf die Situation, in der **ein Katheter (eine Seite, meist bei rechtwinkligen Dreiecken als "Kathete" bezeichnet) und ein Winkel** gegeben sind. Hier die möglichen Lösungswege: 1. **Rechtwinkliges Dreieck**: - Ist das Dreieck rechtwinklig und du kennst eine Kathete und einen weiteren Winkel (außer dem rechten Winkel), dann kannst du das Dreieck eindeutig lösen. - Mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) kannst du die anderen Seiten und Winkel mit den **trigonometrischen Funktionen** (Sinus, Kosinus, Tangens) berechnen. 2. **Allgemeines Dreieck**: - Bei einem allgemeinen Dreieck (nicht rechtwinklig) und der Angabe einer Seite und eines Winkels gibt es **im Allgemeinen keine eindeutige Lösung**. - Es können je nach Lage des Winkels und der Seite **keine, eine oder zwei Lösungen** existieren (Stichwort: "Seiten-Winkel-Winkel"- oder "Seiten-Winkel-Seiten"-Fälle, siehe auch "ambiguous case" beim Sinussatz). **Fazit:** - Bei einem **rechtwinkligen Dreieck** gibt es mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) **genau einen Lösungsweg**. - Bei einem **allgemeinen Dreieck** kann es **keinen, einen oder zwei Lösungswege** geben, abhängig von den gegebenen Werten (siehe Sinussatz, "ambiguous case"). **Weiterführende Links:** - [Sinussatz – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz) - [Dreieck berechnen – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/dreieck-berechnen) Wenn du einen konkreten Fall hast (z.B. welche Seite und welcher Winkel gegeben sind), kann die Antwort noch genauer ausfallen.

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Wenn für einen Winkel \(\alpha\) gilt, dass \(\sin(\alpha) > 0\) und \(\cos(\alpha) < 0\), dann befindet sich \(\alpha\) im **zweiten Quadranten** des Einheitskreises. **Begründung:**... [mehr]

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Wenn für einen Winkel \(\alpha\) gilt, dass \(\sin(\alpha) > 0\) und \(\cos(\alpha) < 0\), dann befindet sich \(\alpha\) im **zweiten Quadranten** des Einheitskreises. **Begründung:** - \(\sin(\alpha) > 0\): Der Sinus ist im 1. und 2. Quadranten positiv. - \(\cos(\alpha) < 0\): Der Kosinus ist im 2. und 3. Quadranten negativ. **Gemeinsame Lösung:** Nur im **zweiten Quadranten** (also für Winkel zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\) bzw. \(\frac{\pi}{2}\) und \(\pi\)) sind beide Bedingungen erfüllt. **Zusammenfassung:** \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \quad \text{bzw.} \quad 90^\circ < \alpha < 180^\circ \]