Was ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x)= -2(x-5)^2+4 und g(x)=2?

Question

Was ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x)= -2(x-5)^2+4 und g(x)=2?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Wie lautet die Diskriminante für die Gleichung ax^2 + px + q = 0?

Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Warum wächst e^x schneller als x^n?

Accepted Answer

Um die Funktionen \( f(x) = -2(x-5)^2 + 4 \) und \( g(x) = 2 \) analysieren, können verschiedene Aspekte betrachtet werden: 1. **Scheitelpunktform von \( f(x) \)**: Die Funktion \( f(x) = -2(x-5)^2 + 4 \) ist in der Scheitelpunktform einer Parabel. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei \( (5, 4) \). Da der Vorfaktor \(-2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 2. **Konstante Funktion \( g(x) \)**: Die Funktion \( g(x) = 2 \) ist eine konstante Funktion, die eine horizontale Linie bei \( y = 2 \) darstellt. 3. **Schnittpunkte der Funktionen**: Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen zu finden, setzt man \( f(x) \) gleich \( g(x) \): \[ -2(x-5)^2 + 4 = 2 \] \[ -2(x-5)^2 = -2 \] \ (x-5)^2 = 1 \] \[ x-5 = \pm 1 \] \[ x = 6 \quad \text{oder} \quad x = 4 \] Die Schnittpunkte sind also \( (6, 2) \) und \( (4, 2) \). 4. **Graphische Darstellung**: - Die Parabel \( f(x) \) hat ihren Scheitelpunkt bei \( (5, 4) \) und öffnet sich nach unten. - Die Linie \( g(x) = 2 \) ist eine horizontale Linie bei \( y = 2 \). - Die beiden Funktionen schneiden sich bei den Punkten \( (6, 2) \) und \( (4, 2) \). Diese Informationen helfen, die Eigenschaften und das Verhalten der beiden Funktionen zu verstehen.

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösunge... [mehr]

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \( D > 0 \), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \( D = 0 \), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \( D < 0 \), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese Informationen sind wichtig, um das Verhalten der Parabel, die durch die Gleichung beschrieben wird, zu verstehen.

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

Accepted Answer

Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig vo... [mehr]

Accepted Answer

Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.