Was ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x)= -2(x-5)^2+4 und g(x)=2?

Question

Was ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x)= -2(x-5)^2+4 und g(x)=2?

Antwort

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-cos(x) abgeleitet?

Was ist eine spannende Idee zur Einführung in Funktionen?

Können sich vier Geraden in genau zwei Punkten schneiden?

Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Wie lautet die Diskriminante für die Gleichung ax^2 + px + q = 0?

Accepted Answer

Um die Funktionen \( f(x) = -2(x-5)^2 + 4 \) und \( g(x) = 2 \) analysieren, können verschiedene Aspekte betrachtet werden: 1. **Scheitelpunktform von \( f(x) \)**: Die Funktion \( f(x) = -2(x-5)^2 + 4 \) ist in der Scheitelpunktform einer Parabel. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei \( (5, 4) \). Da der Vorfaktor \(-2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 2. **Konstante Funktion \( g(x) \)**: Die Funktion \( g(x) = 2 \) ist eine konstante Funktion, die eine horizontale Linie bei \( y = 2 \) darstellt. 3. **Schnittpunkte der Funktionen**: Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen zu finden, setzt man \( f(x) \) gleich \( g(x) \): \[ -2(x-5)^2 + 4 = 2 \] \[ -2(x-5)^2 = -2 \] \ (x-5)^2 = 1 \] \[ x-5 = \pm 1 \] \[ x = 6 \quad \text{oder} \quad x = 4 \] Die Schnittpunkte sind also \( (6, 2) \) und \( (4, 2) \). 4. **Graphische Darstellung**: - Die Parabel \( f(x) \) hat ihren Scheitelpunkt bei \( (5, 4) \) und öffnet sich nach unten. - Die Linie \( g(x) = 2 \) ist eine horizontale Linie bei \( y = 2 \). - Die beiden Funktionen schneiden sich bei den Punkten \( (6, 2) \) und \( (4, 2) \). Diese Informationen helfen, die Eigenschaften und das Verhalten der beiden Funktionen zu verstehen.

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Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

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Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten... [mehr]

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Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten“. Stelle dir vor, du wirfst eine Münze in einen Automaten und wählst ein Getränk aus. Für jede Eingabe (Münze + Auswahl) gibt der Automat genau ein Getränk aus. Das ist wie bei einer Funktion: Jeder Eingabewert (x) wird eindeutig einem Ausgabewert (f(x)) zugeordnet. Du kannst das Thema interaktiv gestalten, indem du die Lernenden eigene „Automaten-Funktionen“ erfinden lässt (z.B. „Was passiert, wenn ich eine 2 eingebe?“) oder sie verschiedene Automaten vergleichen lässt (z.B. Automaten, die für dieselbe Eingabe unterschiedliche Ausgaben liefern – das wäre dann keine Funktion). So wird das abstrakte Konzept greifbar und die Bedeutung von „eindeutiger Zuordnung“ verständlich.

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Vier Geraden können sich in genau zwei Punkten schneiden, aber nur unter bestimmten Bedingungen: - Zwei der Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden. - Die anderen beiden Geraden mü... [mehr]

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Vier Geraden können sich in genau zwei Punkten schneiden, aber nur unter bestimmten Bedingungen: - Zwei der Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden. - Die anderen beiden Geraden müssen sich in einem anderen Punkt schneiden. - Keine der Geraden darf die anderen Schnittpunkte treffen, und keine drei Geraden dürfen sich in einem Punkt schneiden. Ein einfaches Beispiel: Zeichne zwei Geraden, die sich in Punkt A schneiden, und zwei weitere Geraden, die sich in Punkt B schneiden. Die beiden Paare sind so angeordnet, dass sie sich gegenseitig nicht schneiden. Dann gibt es genau zwei Schnittpunkte. **Fazit:** Ja, es ist möglich, dass sich vier Geraden in genau zwei Punkten schneiden.

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

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Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösunge... [mehr]

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Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \( D > 0 \), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \( D = 0 \), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \( D < 0 \), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese Informationen sind wichtig, um das Verhalten der Parabel, die durch die Gleichung beschrieben wird, zu verstehen.