Schnittpunkt von 2 Kreisen berechnen mit gegebenem Radius und Koordinaten?

Question

Accepted Answer

Um die Schnittpunkte von zwei Kreisen zu berechnen, wenn die Radien und die Koordinaten der Mittelpunkte gegeben sind, kannst du die folgenden Schritte befolgen:

1. **Gegeben:**
   - Kreis 1: Mittelpunkt $(x_1, y_1)$ und Radius $r_1$
   - Kreis 2: Mittelpunkt $(x_2, y_2)$ und Radius $r_2$

2. **Gleichungen der Kreise:**
   - Kreis 1: $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2$
   - Kreis 2: $(x x_2)^2 + (y - y_2)^2 =_2^2$

3. **Abstand zwischen den Mittelpten der Kreise:**
   $$
   d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
   $$

4. **Überprüfen, ob die Kreise sich schneiden:**
   - Wenn $d > r_1 + r_2$, schneiden sich die Kreise nicht (sie sind zu weit auseinander).
   - Wenn $d < |r_1 - r_2|$, schneiden sich die Kreise nicht (ein Kreis liegt innerhalb des anderen).
   - Wenn $d = 0$ und $r_1 = r_2$, die Kreise sind identisch und haben unendlich viele Schnittpunkte.
   - Wenn $d = r_1 + r_2$ oder $d = |r_1 - r_2|$, die Kreise berühren sich in genau einem Punkt.

5. **Berechnung der Schnittpunkte:**
   Wenn die Kreise sich schneiden, gibt es zwei Schnittpunkte. Die Berechnung erfolgt wie folgt:

$$
   a = \frac{r_1^2 - r_2^2 + d^2}{2d}
   $$

$$
   h = \sqrt{r_1^2 - a^2}
   $$

$$
   P_2 = \left( x_1 + a \frac{x_2 - x_1}{d}, y_1 + a \frac{y_2 - y_1}{d} \right)
   $$

Die Schnittpunkte $P_3$ und $P_4$ sind dann:

$$
   P_3 = \left( P_2.x + h \frac{y_2 - y_1}{d}, P_2.y - h \frac{x_2 - x_1}{d} \right)
   $$

$$
  _4 = \left( P_2.x - h \frac{y_2 y_1}{d}, P_2.y + h \frac{x_2 - x_1}{d} \right)
   $$

Diese Formeln geben dir die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Kreise.

Schnittpunkt von 2 Kreisen berechnen mit gegebenem Radius und Koordinaten?

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